Тема 5.4. Логарифмические уравнения и неравенства
Самостоятельная работа№19. (4часа)
Цель: Выработать навык решения логарифмических уравнений и неравенств
Простейшее
логарифмическое уравнение имеет вид:
= b
, где a>0,
a≠1
,b -
любое действительное число. Тогда
уравнение имеет единственное решение
x=
.
Логарифмическое
уравнение:
= b
равносильно уравнению:
=
.
При решении логарифмических уравнений обязательно находим ОДЗ (область допустимых значений функции).
Логарифмическое
уравнение:
=
равносильно каждой из следующих
систем:
или
Для
решения исходного уравнения переходят
только к одной из этих систем (той,
которая проще), либо решают уравнение
,
которое может иметь корни, посторонние
для исходного уравнения, и проверяют
каждый на принадлежность ОДЗ.
Основные методы решения логарифмических уравнений.
1. Метод определения логарифма.
Пример:
= -2
ОДЗ.
0.
Следовательно х
(-∞;7)
Из
уравнения следует, что
=
Используя свойства степеней получим х= -42 ОДЗ.
Ответ: -42
2. Функционально- графический метод.
Пример:
=х2
Построим графики функций у= и у= х2. Найдём точки пересечения. Выпишем значение координаты х.
3. Метод потенцирования (переход к выражениям, не содержащих логарифмы).
Пример:
=
ОДЗ.
Следовательно
х
(
;
)
Из
уравнения следует, что
=
получим х=2 ОДЗ
4.Метод введения новой переменной.
Пример:
-
-2=0
Пусть =у, где у-любое число.
Получим квадратное уравнение: у2-у-2=0, решив которое, найдём корни:
у1=2, у2= -1
Выполним обратную замену:
= 2 = -1
По свойствам логарифма
х1 =100 х2=0,1
5.Метод перехода к новому основанию.
Пример:
+
+
=7
Перейдём к новому основанию 2
По
свойствам логарифма получим:
+
+
=7
Т.е.
1
= 7. Откуда следует, что
=4 и х=16
Решите самостоятельно уравнения:
=
+
=
log32x - 2
+
= 0
+
+
=74
-2=
0,5
-
=01+
=
=3-
=2
+
=2
=0
=2
=2
=2
=
+
=
-33
+5
-2=0
+
=6
Тема 5.5. Тригонометрические уравнения.
Самостоятельная работа№20 (4часа)
Цель: Выработать навык решения тригонометрических уравнений.
Простейшие
тригонометрические
уравнения
- это уравнения вида
= a,
=a,
=a
,
=a
.
Каждое из таких уравнений решается по формулам:
Sin x = a
x = arcsina + 2πn или
x =π- arcsina + 2πn , n
Z
В общем случае решение записывается формулой: x=(-1)karcsina+ πn, n Z
Частные
случаи:
a =
–1 sinx
= –1 x
= -
+
2πn,
n
Z
(см рис.2)
a
= 0 sin x = 0 x = πn, n
Z
(см рис.3)
a = 1 sin x =1 x = + 2πn, n Z (см рис.4)
При |a| >1 корней нет
2. = a x = arccosa + 2πn или x =- arccosa + 2πn , n Z
В
общем случае решение записывается
формулой: x
=
arccosa
+ 2πn,
n
Z
(см рис.1)
Частные случаи: a = –1 cosx = –1 x =π + 2πn, n Z (см рис.2)
a = 0 cosx = 0 x = +πn, n Z (см рис.3)
a = 1 cosx =1 x = 2πn, n Z (см рис.4)
При |a| >1 корней нет
3. = a x = arctga + πn, n Z
4. = a x = arcctga + πn, n Z
Примеры: Решить уравнения.
2
= 1
=
=
arcsin
+πn
x =
+πn,
n
Z
2
= 1
=
=
+2πn
x =
+πn,
n
Z
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.
2. Решение уравнений методом разложения на множители.
3. Решение однородных уравнений.
4. Введение вспомогательного аргумента.
Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции. Если функция повторяется несколько раз, то используем замену. При этом учитываем, какие значения может принимать данная функция.
Пример: 2cos2x+3sin x=0;
Т.к. cos2x=1- sin2 x, то уравнение будет иметь вид 2(1- sin2 x) +3sin x=0;
Обозначим sin x=у. Т.к sin x [-1;1], то у [-1;1], Тогда получим квадратное уравнение 2у2-3у-2=0
Решая это уравнение, получим у1=2 1,(не удовлетворяет данному уравнению)
и
у2=
- 0,5
sin
x=-
0,5
х=
(-1)karcsin(-
0,5)+ πn,
n
Z
х=
(-1)k
(-
)+
πn,
n
Z
х=
(-1)k+1
+
πn,
n
Z