9 Решение прикладных задач на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин
Цель работы: научиться решать прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин.
Ход работы:
(согласно вариантам)
Выделить оптимизируемую величину и обозначить ее y.
Одну из неизвестных величин положить независимой переменной и обозначить x. Остальные величины выразить через x, пользуясь заданными условиями задачи.
Исходя из условий задачи, выразить y через x.
Для полученной функции y решить задачу на нахождение наибольшего или наименьшего значения.
Интерпретировать результат.
Вариант №1. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадью 25м2, чтобы периметр ее был наименьшим? |
Вариант №2. Требуется огородить сеткой длиной 600м зону отдыха прямоугольной формы, прилегающую к реке. Определите, каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь. |
Вариант №3. Найдите положительное число, которое, если сложить его с обратным числом даст наименьшую сумму. |
Вариант №4. Прямоугольный лист жести имеет длину 64 см и ширину 40 см. Из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы по прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была максимальной? |
Вариант №5. Стадион представляет собой прямоугольное поле с областями в виде полукруга, присоединенными к двум его противоположным сторонам. Периметр стадиона должен быть равен 330м. Найдите наибольшую возможную площадь? |
Вариант №6. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадью 30м2, чтобы периметр ее был наименьшим? |
Вариант №7. Требуется огородить сеткой длиной 500м зону отдыха прямоугольной формы, прилегающую к реке. Определите, каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь.
|
Вариант №8. Найдите положительное число, которое, если сложить его с удвоенным кубом обратного числа, даст наименьшую сумму. |
Вариант №9. Прямоугольный лист жести имеет длину 80 см и ширину 40 см. Из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы по прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была максимальной? |
Вариант №10. Стадион представляет собой прямоугольное поле с областями в виде полукруга, присоединенными к двум его противоположным сторонам. Периметр стадиона должен быть равен 250м. Найдите наибольшую возможную площадь? |
Вариант №11. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадью 45м2, чтобы периметр ее был наименьшим? |
Вариант №12. Требуется огородить сеткой длиной 800м зону отдыха прямоугольной формы, прилегающую к реке. Определите, каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь. |
Вариант №13. Найдите положительное число, которое, если сложить его с квадратом обратного числа даст наименьшую сумму. |
Вариант №14. Прямоугольный лист жести имеет длину 40 см и ширину 20 см. Из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы по прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была максимальной? |
Вариант №15. Стадион представляет собой прямоугольное поле с областями в виде полукруга, присоединенными к двум его противоположным сторонам. Периметр стадиона должен быть равен 500м. Найдите наибольшую возможную площадь? |
Пример ВЫПОЛНения заданий
Задача. Каковы должны быть размеры комнаты, чтобы ее площадь была наибольшей, если ее периметр 16.
Решение:
Выделим оптимизируемую величину и обозначим ее y – это площадь комнаты, надо найти ее наибольшее значение.
Одну из неизвестных величин положить независимой переменной и обозначить x – это одна из сторон комнаты. Остальные величины выразим через x, пользуясь заданными условиями задачи. Вторую сторону комнаты можно выпазить через периметр и x, тогда вторая сторона будет 8-x.
Исходя из условий задачи, выразим y через x, так как y – это S прямоугольной комнаты, то y=x(8-x).
Для полученной функции y решим задачу на нахождение наибольшего значения. Для этого нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю.
Откуда x=4.
Далее смотри пункт 3 практической работы 6 Исследование функции и построение графика функции с помощью производных.
Самостоятельно начертите рисунок. Таким образом, max y=y(4)=16.
Интерпретируем результат.
Комната наибольшей площади имеет форму квадрата со сторонами 4 и 4. Ее наибольшая площадь 16.
Контрольные вопросы:
Как найти наибольшее или наименьшее значение функции?
Поясните на примере, что значит интерпретировать результат решения задачи?