§4. Двойственность задач

Понятие двойственности рассмотрим на примере зада­чи оптимального использования сырья. Пусть на предпри­ятии решили рационально использовать отходы основного производства. В плановом периоде появились отходы сырья m видов в объемах единиц . Из этих отходов, учитывая специализацию предприятия, можно наладить выпуск n видов неосновной продукции. Обозна­чим через норму расхода сырья i-го вида на единицу j-й продукции, - цена реализации единицы j-й продукции (реализация обеспечена). Неизвестные величи­ны задачи: — объемы выпуска j-й продукции, обеспечи­вающие предприятию максимум выручки.

Математическая модель задачи:

(1)

(2)

(3)

Предположим далее, что с самого начала при изучении вопроса об использовании отходов основного производст­ва на предприятии появилась возможность реализации их некоторой организации. Необходимо установить прикидочные оценки (цены) на эти отходы. Обозначим их .

Оценки должны быть установлены исходя из следующих требований, отражающих несовпадающие интересы предприятия и организации:

1. общую стоимость отходов сырья покупающая организация стремится мини­мизировать;

2. предприятие согласно уступить отходы только по таким ценам, при которых оно получит за них выручку, не меньшую той, что могло бы получить, органи­зовав собственное производство.

Эти требования форма­лизуются в виде следующей ЗЛП.

Требование покупающей организации – минимизация покупки: (4)

Требование предприятия, реализующего отходы сырья, можно сформулировать в виде системы ограничений. Предприятие откажется от выпуска каждой единицы продукции первого вида, если , где левая часть означает выручку за сырьё идущее на единицу продукции первого вида; правая – её цену.

Аналогичные рассуждения логично провести в отношении выпуска продукции каждого вида. Поэтому требование предприятия, реализующего отходы сырья, можно формализовать в виде сл. системы ограничений:

(5)

По смыслу задачи оценки не должны быть отрицательными:

(6)

Переменные называют двойственными оценками или объективно обусловленными оценками.

Задачи (1)-(3) и (4)-(6) называют парой взаимно двойственных ЗПЛ.

Между прямой и двойственной задачами можно установить следующую взаимосвязь:

1. Если прямая задача - на максимум, то двойственная к ней - на минимум, и наоборот.

2. Коэффициенты целевой функции прямой задачи являются свободными членами ограничений двойственной задачи.

3. Свободные члены ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойст­венной.

4. Матрицы ограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.

5. Если прямая задача на максимум, то ее система ограничений представляется в виде неравенств типа . Двойственная задача решается на минимум, и ее система ограничений имеет вид неравенств типа .

6. Число ограничений прямой задачи равно числу пере­менных двойственной, а число ограничений двойствен­ной — числу переменных прямой.

7. Все переменные в обеих задачах неотрицательны.

Теорема 1. Для любых допустимых планов и прямой и двойственной ЗЛП справедливо неравенство , т.е.

(7) – основное неравенство теории двойственности.

Теорема 2. (критерий оптимальности Канторовича)

Если для некоторых допустимых планов и пары двойственных задач выполняется неравенство , то и являются оптимальными планами соответствующих задач.

Теорема 3. (малая теорема двойственности)

Для су­ществования оптимального плана любой из пары двойст­венных задач необходимо и достаточно существование допустимого плана для каждой из них.