9. Спектральная трактовка дискретизации.

Теорема отсчетов Котельникова.

Операция замены непрерывной функции последовательностью отсчётов её мгновенных значений называется дискретизацией. Фундаментальное значение для решения многих задач теории передачи сигналов имеет следующая теорема отсчётов Котельникова: непрерывная функция х(t), не содержащая частот выше граничной Fв, полно­стью определяется отсчётами мгновенных значений x(kΔ) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы Δ≤1/2F_в. Интервал Δ называется интервалом Ко­тельникова. Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию X(T) в виде ряда

(1)

Процедура восстановле­ния непрерывной функции x(t) по отсчётам её мгновенных значений x(kt) вы­текает непосредственно из ряда Котельникова (1): нужно перемножить значения отсчётов x(kt) на соответствующие отсчётные функции (2) (2) и просуммировать полученные произведения. Эти операции иллюстрирует рис1.

Рис.1 Принцип востановления непрер. ф-и по ее отсчетам

Для полного восстановления необходимо просуммировать бесконечное множество членов ряда (1). Однако если функция с ограниченным спектром x(t) рассматривается на конечном интервале Т (рис.1а), то точное разло­жение (1) можно заменить следующим приближённым разложением:

Конечное число отсчётов п, определяющее x_ε(t) , равно (при Δ=1/2F_B) n=T/Δ+1F_BT+1

10. Случайные процессы и их осн. Хар-ки.

Случайный процесс Х(t)—это особого вида функция, характеризующаяся тем, что в любой момент времени t принимаемые ею значения являются случайными величинами. Случайность процесса X(t) проявляется в том, что вид наблюдаемой функции случайным образом меняется от одного наблюдения к другому. Однако получаемая в результате каждого отдельного опыта функция х(t) не случайна, её называют реализацией случайной функции. Случайный процесс представляет собой бесконечную совокупность таких реализации, образующих статистический ансамбль.

Для непрерывных процессов X(t) распределение вероятностей в заданном сечении t1 характеризуется одномер­ной плотностью вероятностей:

Другой важной характеристикой случайных величин Х является интегральная функция распределения F(x), определяемая как вероятность того, что случайная величина X не превзойдёт некоторого значения х:

Рис.1. Задание случайного процесса через совокупность его реализаций Рис. 2. Типовой график (а) одномерной ПВ и (б) одномерной ИФР

Случайными стационарными процессами принято называть случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях.

Если же мат.ожидание т и дисперсия σ2 процесса не зависят от времени, а функция корреляции зависит лишь от разности τ=|t2-t1|, т.е. R(t1,t2)=R(τ), то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Как следует из определения, функция корреляции стационарного случайного процесса является четной. R(τ)=R(-τ).

Случайный стационарный процесс называют эргодическим, если при нахождении его моментных функций усреднение по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени. Операция усреднения выполняется над единственной реализацией х(t), длительность Т которой теоретически может быть сколь угодно велика.

Функция Wx(ω) наз-ся спектральной плотностью мощности или спектром мощности процесса X(t).Спектр мощности связан преобразованием Фурье с функцией корреляции. W(ω)= . Характеризует удельную меру мощности. По своему физ.смыслу спектр мощности веществен и неотрицателен: W(ω)≥0.

Т-ма Винера-Хинчина:

Спектр плотности W(ω)= и функция корреляции R(τ)= связаны между собой.

Случайный процесс, характеризуемый спектральной плотностью мощности G0(f)=N0 равномерной на всех частотах? Называют белым шумом. Если спектр G0(f) ограничен сверху частотой Fв, то процесс наз-ся квазибелым шумом. Его дисперсия Ϭ2=B(0)=N0FB. ФК белого шума: B(τ)=δ(τ)*N0/2. ФК квазибелого шума: B(τ)=N0FB(sinωвτ/ωвτ).

Нормальное распределение — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения: где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b], если её плотность имеет вид:

11. АМ- колебания.

Амплитудный модулятор. Детектирование АМ-колебаний в нелинейных цепях.

Амплитудная модуляция состоит в пропорциональном первичному сигналу x(t) изменении амплитуды переносчика .

В простейшем случае гармонического сигнала амплитуда . В результате имеем АМ колебание:

Амплитуда несущего колебания при модуляции не изменяется; амплитуды колебании боковых частот (верхней и нижней) пропорциональны глубине модуляции, т. е. амплитуде Х модулирующего сигнала. При m=1 амплитуды колебаний боковых частот достигают половины несущей (0,5U₀).

Первичный сигнал x(t) характеризуется амплитудой Х и частотой модуляции . В модулированном колебании информация о первичном

Огибающая АМ колебания соответствует выражению (7.1) Максимальное отклонение амплитуды U_AM от U₀ представляет амплитуду огибающей U_Ω; согласно (7.1) .Отношение амплитуды огибающей к амплитуде несущего (немодулированного) колебания называется коэффициентом модуляции. Обычно . Коэффициент модуляции, выраженный в процентах, т. е. (m 100)%, называют глубиной модуляции. Коэффициент модуляции пропорционален амплитуде модулирующего сигнала.

Используя (7.3), выражение (7.2) записывают в виде .

Д ля определения спектра АМ колебания раскроем скобки в выражении (7.5)

Согласно (7.5) АМ колебание является суммой трех высокочастотных гармонических колебаний близких частот (поскольку или а)колебания несущей частоты f₀ с амплитудой U₀, б) колебания верхней боковой частоты f₀+F с амплитудой , в) колебания нижней боковой частоты f₀-F с такой же амплитудой.

Н а практике в качестве нелинейных элементов модуляторов чаще используются транзисторы. Модулируемое высокочастотное напряжение подают во входную цепь нелинейного элемента. Модулирующий же сигнал вводят в цепи различных электродов: в в цепь базы или коллектора (соответственно базовая или коллекторная модуляция).