2. Структурна і приведена форми системи одночасних рівнянь

Означення 3. Система одночасних рівнянь, яка безпосередньо описує структуру взаємозв’язків між змінними моделі називається структурною формою симультативної моделі.

Структурні рівняння виражають ендогенні змінні моделі як функції інших ендогенних змінних, екзогенних змінних і випадкових величин. Наведені вище приклади симультативних моделей подають їх саме у структурній формі.

У загальному випадку структурна форма системи одночасних рівнянь для k – ендогенних змінних і m – екзогенних змінних моделі має наступний вигляд:

( 6 )

де - ендогенні змінні моделі, - екзогенні змінні моделі, - випадкові складові моделі, a – параметри при ендогенних змінних, b – параметри при екзогенних змінних.

У цій системі змінна . Окремі структурні параметри а і b можуть дорівнювати нулю, якщо змінна не входить до рівняння. Залишки , також можуть дорівнювати нулю, якщо відповідне рівняння є тотожністю. Систему (6) можна переписати у матричній формі:

, ( 7 )

де Y – вектор ендогенних залежних змінних; X - матриця екзогенних пояснюючих (незалежних) змінних; ε – вектор залишків; A – матриця коефіцієнтів при змінних Y розмірність k×k; B – матриця коефіцієнтів при змінних X розмірність k×m.

Виходячи з визначення і особливостей структурної форми системи одночасних рівнянь можна зробити наступні висновки.

1. Параметри a і b структурної форми відображають прямий вплив кожного фактора на залежну змінну і ,як правило, мають відповідний економічний зміст (гранична норма заміщення, коефіцієнт еластичності, гранична схильність до споживання і т.і.). Внаслідок цього структурна форма симультативної моделі використовується для економіко - математичного аналізу.

2. Структурна форма симультативної моделі внаслідок порушення розглянутого вище припущення класичного лінійного регресійного аналізу не дозволяє оцінити структурні параметри моделі a і b і використовувати її для прогнозування.

 Зауваження 1. Структурну форму симультативної моделі можна подавати у графічному вигляді – у вигляді схеми, яка відтворює причинно-наслідкові зв’язки між змінними моделі. Так для моделі із прикладу 2 структурну форму можна представити у вигляді наступної схеми .

Рис. 1. Схема структурної форми для моделі

визначення доходу Кейнса (3) – (4)

Параметри структурної форми на схемі мають вигляд стрілок. Початок стрілки показує пояснюючу (незалежну) змінну, кінець – пояснювану (залежну). Ендогенні змінні показані колами, екзогенні і залишки – прямокутниками. Як видно з рисунку чітко видно одночасний і двохсторонній зв'язок між ендогенними змінними моделі C_t і y_t.

Означення 4 Система одночасних рівнянь, у якій всі ендогенні змінні виражені як функції лише екзогенних попередньо визначених змінних і випадкових величин називається приведеною формою симультативної моделі .

Приведена форма симультативної моделі може бути отримана з структурної форми шляхом розв’язання системи структурних рівнянь відносно вектора ендогенних змінних Y. Так для наведеної вище структурної форми ( 6 ) приведена форма має наступний вигляд :

( 8 )

У матричній формі систему рівнянь ( 8 ) можна подати наступним чином:

, ( 9 )

де матриця коефіцієнтів приведеної форми R визначається як:

, ( 10 )

а вектор залишків U є лінійною комбінацією залишків рівнянь структурної форми .

Приклад 3. Побудова приведеної форми моделі доход. Кейнса.

Підставимо вираз для y_t ( 4 ) в структурну форму функції споживання ( 3 ):

або після перетворень:

. ( 11)

Тепер підставимо функції споживання ( 3 ) у тотожність ( 4 ) і після перетворень отримаємо:

. ( 12 )

З врахуванням введених позначень для приведеної форми вирази ( 11 ) і ( 12 ) можна переписати у наступному вигляді :

( 13 )

де , , , .

Виходячи з визначення і особливостей приведеної форми системи одночасних рівнянь можна зробити наступні висновки.

1. Кожний параметр приведеної форми r_ij представляє собою мультиплікатор і складається з різних коефіцієнтів (параметрів) структурної форми. Параметри-мультиплікатори приведеної форми утворюють мультиплікаторну матрицю R. Мультиплікатори приведеної форми вимірюють загальний вплив (прямий та непрямий) попередньо визначених екзогенних змінних на ендогенні змінні, в той час як структурні параметри вимірюють тільки прямий вплив.

2. В правих частинах рівнянь приведеної форми немає жодної взаємозалежної змінної. Тому будь-яке рівняння приведеної форми може використовуватись окремо для прогнозу відповідної залежної змінної. Внаслідок цього приведену форму ще називають прогнозною формою, підкреслюючи тим самим основне призначення рівнянь цієї форми – прогнозування.

 Зауваження 2. Приведену форму симультативної моделі, як і структурну, також можна подавати у графічному вигляді. Так для моделі із прикладу 2 на основі отриманих рівнянь ( 11 ) і ( 12 ) приведену форму можна представити у вигляді схеми, наведеної на рис. 2.

Як бачимо, на відміну від структурної форми моделі Кейнса приведена форма не має причинних зв’язків між змінними C_t і y_t, тобто приведена форма характеризується відсутністю взаємних зв’язків між змінними і наявністю тільки прямих зв’язків.

Рис. 2. Схема приведеної форми для моделі

визначення доходу Кейнса (11) – (12)

Порівняння структурної і приведеної форми симультативної моделі на прикладі моделі Кейнса показує ,що структурна і приведена форми моделі доповнюють одна одну в теоретико-економічному плані. Так, наприклад, приведена форма функції споживання (11) містить екзогенну змінну I_t і дає змогу визначити ступінь залежності між споживанням і інвестиціями, чого не дає структурна форма. Це ж зауваження стосується і залишків, які виявляють більший вплив на залежні змінні, як це видно з рівнянь прогнозної форми ( 11 ), ( 12 ). Структурна форма не дає такої інформації.

Тому відносно повну картину залежності між змінними економетричної симультативної моделі можна одержати шляхом аналізу як структурної так і відповідної їй приведеної форми.

Зроблені висновки вказують на необхідність визначення чисельних оцінок параметрів як структурної, так і приведеної форми симультативних моделей.