Этап 6. Выбор лучшей модели прогноза.

Составим таблицу сравнения наилучших моделей:

Модель	RMSE для всей выборки	RMSE для тестовой выборки
Модель Брауна α=0,7245	17,6348	0,24451
ARIMA (2,0,2) с константой	16,4457	0,213783

Таким образом, наилучшей моделью является ARIMA модель (2,0,2) c константой.Обе среднеквадратические ошибки данной модели меньше, чем для модели Брауна.

Этап 7. Построение прогноза по полученной модели.

Построим прогноз на следующий период по полученной модели:

		Lower 95,0%	Upper 95,0%
Period	Forecast	Limit	Limit
61,0	136,859	86,3597	187,358

Этап 8. Спектральный анализ временного ряда. Оценка сезонных колебаний. Оценка точности прогнозирования уровня показателя.

Цель спектрального анализа – разложение дисперсии временного ряда по частотам для определения существенных гармонических составляющих стационарного процесса.

Спектр – это функция распределения амплитуд процесса по соответствующим частотам.

На данном этапе необходимо оценить временной ряд «Индекса промышленного производства

Исходя из графика, можно сказать, что тренда (зависимости показателя от времени) нет и есть сезонность. Проверим данное предположение с помощью гипотез.

1. Обнаружение и идентификация тренда Гипотеза о равенстве дисперсий.

Так же воспользуемся Statgraphics:

	1/2	1/2
Standard deviation	6,11699	5,9964
Sample sizes	56	57
Null Hypothesis: ratio of variances = 1,0 Alternative: not equal Computed F statistic = 1,04063 P-Value = 0,880933 Do not reject the null hypothesis for alpha = 0,05.

На основе, данных полученных при использование Statgraphics можно сделать вывод, что нулевая гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Гипотеза о равенстве средних.

Делим исходные данные на 2 равные части и проверим о гипотезу, о равенстве их средних, воспользовавшись Statgraphics:

Sample means	100,425	100,207
Sample standard deviations	6,11699	5,9964
Sample sizes	56	57
Null Hypothesis: difference between means = 0,0 Alternative: not equal Computed t statistic = 0,191307 P-Value = 0,848635 Do not reject the null hypothesis for alpha = 0,05.

Из результатов, полученных в Statgraphics можно сделать вывод о том, что нулевая гипотеза о равенстве средних двух реализаций подтверждается. Таким образом, можно сделать вывод об отсутствии тенденции.

2. Идентификация систематической составляющей в ряду.

Цель спектрального анализа – разложить дисперсию временного ряда по частотам для определения существенных гармоник.

Пара функций:

, называется гармоникой.

Общий вид оцениваемой регрессии на тригонометрические функции имеет вид:

Для начала определим m (предполагаемый период изменений):

Анализируя представленный выше рисунок, можно сделать предположение, что m=12. Данное предположение подтверждает изучение распределения значений спектра рады, представленное на Периодограмме и в таблице.

2013 год в выборке представлен не полностью, а только 5 месяцами. Чтобы не искажать этим картину, необходимо убрать последние 5 значений из выборки и перестроить периодограмму.

				Cumulative	Integrated
i	Frequency	Period	Ordinate	Sum	Periodogram
0	0,0		4,36209E-26	4,36209E-26	1,14131E-29
1	0,00925926	108,0	1,0258	1,0258	0,000268393
2	0,0185185	54,0	10,3149	11,3407	0,00296722
…
17	0,157407	6,35294	7,71775	151,867	0,0397348
18	0,166667	6,0	252,339	404,206	0,105757
19	0,175926	5,68421	11,8434	416,049	0,108856
…
26	0,240741	4,15385	0,13799	535,622	0,140142
27	0,25	4,0	974,143	1509,76	0,395019
28	0,259259	3,85714	14,4301	1524,19	0,398794
…
35	0,324074	3,08571	42,9348	1599,76	0,418565
36	0,333333	3,0	1147,42	2747,18	0,718781
37	0,342593	2,91892	2,04179	2749,23	0,719315
…
45	0,416667	2,4	659,713	3502,84	0,916493
46	0,425926	2,34783	15,7478	3518,59	0,920613
…
53	0,490741	2,03774	57,1675	3734,89	0,977206
54	0,5	2,0	87,1204	3822,01	1,0

Как видно на периодограмме и соответствующей таблице в приложение самому наибольшему колебанию соответствует период в , т.е. период получается длиной ровно 3 месяца.

m =	3
n =	108
h =	36
j =	1,5

Воспользовавшись методом НМК, получаем следующие параметры модели и их значимость по t-статистике:

	100,3778			210,1392	значим		100,3778
a =	4,080556		tрасч =	6,040513	значим	a (зн.) =	4,080556
	-2,14421			-3,17412	значим		-2,14421
	0,898148			1,880258	незначим		0
			tкрит =	1,983

Проверка значимости коэффициентов по гармоникам:

Параметр	j=0	j=1	j=1,5
a2j-1	100,38	4,08	0,9	cos
a2j		-2,14		sin
tрасч a2j-1
tрасч a2j
a2j-1 значимость
a2j значимость
Амплитуда ρ		4,61
Период mj=12/j		3	2
Fрасч		23,28	0,00
Fкрит		3,082852	3,082852016
		значима
P-value		0,0000	1,0000

По t-статистике вышло, что коэффициент вышел незначимым, следовательно, его можно убрать из модели:

Y(t) =100,38 + 4,08cos( ) – 2,14sin( )