5. Опис вибору на мові бінарних відношень

Друга, більш загальна мова - це мова бінарних відношень. Її більша загальність, ніж у критеріальної мови, основана на врахуванні факту, що у реальності дати оцінку окремо взятій альтернативі часто важко або неможливо. Однак якщо розглядати її не окремо, а у парі з другою альтернативою, то знаходяться підстави вказати, якій із них віддати перевагу.

Основні припущення цієї мови зводяться до наступного:

• окрема альтернатива не оцінюється, тобто критеріальна функція не вводиться;

• для кожної пари альтернатив (x,y) деяким чином можна встановити, що одній із них можна віддати перевагу, або вони рівноцінні, або непорівнянні (часто два останні поняття ототожнюються);

• відношення переваги усередині довільної пари альтернатив не залежить від інших пред’явлених до вибору альтернатив.

Математично бінарне відношення R на множині X визначається як деяка підмножина впорядкованих пар (x,y). Зручно користуватися позначенням xRy, якщо x знаходиться у відношенні R з y, та x y у протилежному випадку. Множина всіх пар називається повним („універсальним”) бінарним відношенням. Оскільки у загальному випадку не всі можливі пари (x,y) задовольняють умовам, що накладаються відношенням R, то бінарне відношення є деякою підмножиною повного бінарного відношення, тобто R .

Задати відношення – це значить тим чи іншим способом вказати всі пари (x,y), для яких виконане відношення R.

Існує чотири способи завдання відношень; переваги кожного виявляються при різних характеристиках множини X.

Перший, очевидний, спосіб полягає у безпосередньому перерахуванні таких пар. Ясно, що він припустимий лише у випадку скінченої множини X.

Другий зручний спосіб завдання відношення R на скінченій множині – матричний. Всі елементи нумеруються, і матриця відношення R визначається своїми елементами α_ij(R) = {1: x_iRx_j ; 0: x_i x_j} для всіх i та j. Відомим прикладом такого завдання відношення є турнірні таблиці (якщо нічиї позначити нулями, як і програші, то матриця зобразить відношення „x_i - переможець x_j“).

Третій спосіб – завдання відношення графом. Вершинам графа G(R) ставлять у відповідність (пронумеровані) елементи множини X, і якщо x_iRx_j, то від вершини x_i проводять спрямовану дугу до вершини x_j; якщо ж x_i x_j, то дуга відсутня.

Для визначення відношень на безкінечних множинах використовують четвертий спосіб – завдання відношення R перерізами. Множина R⁺(x) = називається верхнім перерізом відношення R, а множина R^-(x) = нижнім перерізом. Інакше кажучи, верхній переріз – це множина всіх y X, що знаходяться у відношенні yRx із заданим елементом x X, а нижній переріз – множина всіх y X, з якими заданий елемент x знаходиться у відношенні R. Відношення однозначно визначається одним із своїх перерізів.

6. Відношення еквівалентності, порядку та домінування

Для теорії вибору особливе значення серед всіх бінарних відношень мають відношення, котрі відповідають перевазі однієї альтернативи над другою, або випадку, коли неможливо віддати перевагу жодній альтернативі. Ці відношення задають через відношення еквівалентності, порядку та домінування. Бінарне відношення R на множині X є:

• рефлексивне, якщо xRx для кожного x X;

• анти рефлексивне, якщо x x x X (тобто R може виконуватися лише для не співпадаючих елементів);

• симетричне, якщо xRy yRx x,y X;

• асиметричне, якщо xRy y x x,y X (ясно, що асиметричне відношення R анти рефлексивне);

• анти симетричне, якщо для всіх x,y X(xRy, yRx) x = y;

• транзитивне, якщо для всіх x,y,z X(xRy, yRz) xRz;

• від’ємно транзитивне, якщо відношення транзитивне;

• сильно транзитивне, якщо відношення R одночасно транзитивне та від’ємно транзитивне.

Відношення R на множині X, називається відношенням еквівалентності (позначається ~), якщо воно рефлексивне, симетричне та транзитивне. Завдання відношення еквівалентності тотожне розбиттю множини X на непересічні класи (X = X_і, X_i X_j = Ø при i ≠ j) еквівалентних елементів: x ~ y тоді й тільки тоді, коли x,y X (тобто x та y належать одному класу еквівалентності).

Відношенням нестрогого порядку (позначається ) називається рефлексивне, антисиметричне та транзитивне відношення. Відношенням строгого порядку (позначається <) називається анти рефлексивне, асиметричне та транзитивне відношення. Відношення нестрогого порядку можна розглядати як об’єднання відношень < та ~.

Нарешті, відношенням домінування називається відношення, що володіє анти рефлексивністю та анти симетричністю. Кажуть, що „x домінує y” (позначається x >> y), коли x в якомусь смислі перевершує y. (Очевидно, що строгий порядок це частковий випадок домінування, при якому має місце ще й транзитивність).

Деякі особливості вибору привели до побудови третьої, ще більш загальної мови його описання. Нерідко стикаються з ситуаціями, коли переваги між двома альтернативами залежать від решти альтернатив. Наприклад, перевага покупця між чайником та кавоваркою залежить від наявності у продажу млинка для кави.