§ 10.2. Мова функцій вибору

Функції вибору як математичний об’єкт

Мова функції вибору описує вибір як операцію над довільною множиною альтернатив X, яка ставить цій множині у відповідність деяку підмножину C(X): C(X) X. (Позначення C зв’язане з першою буквою англійського слова choise - „вибір”). Функція вибору як відображення сукупності множин у сукупність множин (оскільки для вибору можуть пропонуватися довільні підмножини X_i X) без по-елементного відображення одних множини на другу та без відображення множин на числову вісь є своєрідним та поки ще не повністю вивченим математичним об’єктом.

2. Обмеження на функції вибору

Аксіома наслідування (H):

X^’ X C(X^’) C(X) X^’.

Зміст цієї аксіоми зводиться до вимоги, щоб у вибір на підмножині X^’ увійшли всі ті альтернативи із X^’, котрі входили у вибір на X.

Аксіома згоди (C):

C(X_i) C( X).

Це означає, що у вибір із об’єднання множин обов’язково мусять входити альтернативи, що являється загальними для виборів з усіх множин.

Виявляється, що спільне підпорядкування функції вибору аксіомам Н та С дає описаний на мові бінарних відношень вибір.

Аксіома відкидання (O):

C(X) X X C(X^’) C(X).

Це означає, що якщо відкинути довільну частину альтернатив, то вибір на множині, що залишилася, не зміниться; тому дану аксіому називається також умовою незалежності від відкинутих альтернатив.

Спільне накладання на вибір аксіом Н,С та О приводить до випадку вибору паретовської множини.

Аксіома Плота (KC):

C(X X) = C(C(X₁) C(X₂)).

Це відображає вимоги, що накладаються при багатоступеневих виборах, коли вважається, наприклад, що визначити чемпіона світу можна шляхом змагань між чемпіонами країн і результат буде тим же, якщо змагатися будуть не тільки чемпіони. Тому цю аксіому називається ще умовою незалежності від шляху. Функції вибору, що задовольняють їй, називається квазі суматорними.

Аксіома переваги (П):

X^’ X C(X) X^’= C(X^’).

Вона вимагає, щоби при звужені множини альтернатив у виборі залишилися лише ті альтернативи, котрі входили у вибір раніше.

У суспільстві одноособове прийняття рішення є не єдиною формою вибору. „Розум – добре, а два – краще”, говорить приказка, що має на увазі випадок, коли двоє з однаковими намірами намагаються знайти гарний вибір.

3. Груповий вибір

Нехай на множині альтернатив задано n у загальному випадку різних індивідуальних переваг (для визначеності будемо казати про бінарні відношення) R₁,R₂,...,R_n. Ставиться задача вироблення деякого нового відношення R, що погоджує індивідуальні вибори, виражає у якомусь змісті „загальну думку” та приймається за груповий вибір. Очевидно, що це відношення повинно бути функцією індивідуальних виборів: R = F(R₁,...,R_n). Різним принципам голосування будуть відповідати різні функції F.