2 Сұрақ. Қатынастар, n орынды қатынас. Арнайы бинарлық қатынастар.

Бос емес А жиыны берiлсiн. Мұндеғы n – оң бүтiн сан, онда Aⁿ жиынының кез келген iшкi жиынын А жиынында анықталған n-орынды қатынас деп атаймыз.

1-орынды қатынастар унарлық, 2- орынды қатынастар бинарлық, 3-орынды қатынастар тернарлық қатынастар деп аталады. Практикада негiзiнен унарлық жəне бинарлық қатынастармен жұмыс iстеймiз. Əсiресе, төменде келтiрiлетiн арнайы бинарлық қатынастар математикада кеңінен жəне табысты қолданылады.

_{Осы бөлімде R арқылы А жиынында анықталған бинарлық қатынасты белгiлеуге келіселік. Сонымен бірге, (a, b) парының R қатынасына тиістілігін (а,b) R немесе} aRb Бiздiң курсымызда ерекше маңызды жəне жиi кездесетiн арнайы бинарлық қатынастарды анықтаймыз.

_{1. Егер кез келген x A элементi үшiн (x,x) R болса, онда R қатынасы рефлексивтi қатынас деп аталады.}

_{2. Егер кез келген x,y A элементтерi үшiн ( x, y) R ( y, x) R шарты орындалса, онда R қатынасы симметриялы деп аталады.}

_{3. Егер кез келген x, y, z A элементтерi үшiн ( x, y) R жəне} ( y, z) R→ ( x, z) R шарты орындалса, онда R қатынасы транзитивтi деп аталады

4. Кез келген x A үшiн ( x, x) R болса, онда R қатынасы иррефлексивтi деп аталады. _{5. Кез келген x,y A үшiн ( x, y) R жəне ( y, x) R болғандығынан x=y теңдiгi} орындалса, онда R қатынасы антисимметриялы деп аталады.

3 Сұрақ. Эквиваленттік қатынас. Бөліктеу туралы теорема

Анықтама. A жиынында анықталған рефлексивтi, симметриялы жəне _{транзитивтi қатынас эквиваленттiлiк қатынас деп аталады. Сонымен R қатынасы} эквиваленттiлiк қатынас болу үшiн кез келген x, y, z A элементтері үшін ( x, x) R

_{( x, y) R→ ( y.x) R}

_{( x, y) Rжəне ( y, z) R→ ( x, z) R}

шарттары орындалуы керек. Əдетте R эквиваленттiлiк қатынас болса, ол арнайы ~ (тилда) белгiсі арқылы таңбаланады. Яғни ( x, y) R x ~ y .

_Яғни ~ – A жиынында анықталған эквиваленттiк қатынас болса, онда кез келген _{x, y, z A элементтері үшін}

_{x A x ~ x}

x ~ y y ~ х

x ~ y жəне y ~ z x ~ z шарттары орындалуы керек

={ y A , x ~ y } iшкi жиынын x элементiнің эквиваленттiлiк класы дейміз.

Ал жиынының кез келген элементi эквиваленттілік класының өкiлi деп аталады. Бөліктеу туралы теорема.

Егер А жиыны жəне оның iшкi жиындары A₁, A₂, …, A_m, …үшiн

1.

2. i болғанда шарттары орындалса, бiрiгу мүшелері А жиынының бөлiктерi, ал осы шарттарды қанағаттандыратын A₁ A₂ ,…, A_m, … жиындар тiзбегi А жиынының бөлiктеуi деп аталады.

Теорема 1.7( Бөліктеу туралы ). А жиынында анықталған кез келген эквиваленттiлiк қатынас үшiн оның эквиваленттiлiк кластары А жиынының бөлiктеуiн анықтайды. Керiсiнше, жиынның əрбiр бөлiктеуі осы жиындағы өзiне сəйкес эквиваленттiлiк қатынасты анықтайды.

Дəлелдеуi. ( ) ~ – А жиынында анықталған эквиваленттік қатынас болса, онда оның A жиынының бөліктеулерін анықтайтыны жоғарыда келтірілген төрт қасиеттен тікелей шығады.

( ): А жиыны мен оның бөлiктеуiн құратын iшкi жиындарының тiзбегi A₁ A₂,…,A_m, … берiлсiн. Онда ~ қатынасын (*) x, y A үшiн x ~ y i I табылып, x, y A_i шартымен анықтайық. Бұл қатынастың рефлексивтi жəне симметриялы болатыны анықтамадан айқын көрiнiп тұр. Сондықтан оның транзитивтiлiгiн көрсетсек жеткiлiктi.