1. Статистическое оценивание и статистические гипотезы

2.1 Точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

Точечные оценки — это оценки некоторых неизвестных числовых параметров распределения. Они представляют собой числа, полученные путем подстановки выборочных значений х₁, х₂,...х_N в формулу для оценивания искомого параметра. Математическое ожидание т_x и дисперсию обычно оценивают с помощью следующих соотношений:

(2.2)

(2.3)

Указанные оценки являются состоятельными и несмещенными. Для выборки из нормальной совокупности оценка , кроме того, является эффективной, a стремится к эффективной при , или, как говорят, она асимптотически эффективна.

Несмещенность оценки достигается использованием в знаменателе формулы (2.3) величины =N—l вместо очевидного на первый взгляд значения N. Величину  называют числом степеней свободы. Она равна разности между числом имеющихся экспериментальных значений N, по которым вычисляют оценку дисперсии, и количеством дополнительных параметров, входящих в формулу для оценки этой дисперсии и вычисляемых в виде линейных комбинаций тех же самых наблюдений (в данном случае это всего один параметр ).

2.2 Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Точечные оценки параметров не дают информации о степени близости оценки к соответствующему теоретическому параметру . Поэтому более информативный способ оценивания неизвестных параметров состоит не в определении единичного точечного значения, а в построении интервала, в котором с заданной степенью достоверности окажется оцениваемый параметр, т. е. в построении так называемой интервальной оценки параметра .

Интервальной оценкой параметра в называется интервал, границы которого и являются функциями выборочных значений x₁,x₂,...x_N и который с заданной вероятностью p накрывает оцениваемый параметр :

. (2.4)

Интервал ( ) называется доверительным, его границы и являющиеся случайными величинами,—соответственно нижним и верхним доверительными пределами, вероятность р— доверительной вероятностью, а величина q = 1—р — уровнем значимости, используемым при построении доверительного интервала. Любая интервальная оценка может быть охарактеризована совокупностью двух чисел: шириной доверительного интервала являющейся мерой точности оценивания параметра , и доверительной вероятностью р, характеризующей степень достоверности (надежности) результатов. Практически чаще всего используется значение р=0,95, несколько реже р=0,9 и р=0,99 и совсем редко р=0,8 и р=0,999.

Общая процедура получения интервальной оценки состоит в следующем:

1. Записывают определенное вероятностное утверждение вида

, (2.5)

где f(g) — функция плотности вероятности случайной величины g. При этом значения ₁ и ₂ определяют обычно с учетом дополнительных условий:

(2.6)

2. Аргумент выражения (2.5) преобразуют так, чтобы в окончательном виде оцениваемый параметр оказался заключенным между величинами, определяемыми по выборке. Это и будут границы доверительного интервала ( ). Функцию g( ) выбирают таким образом, чтобы она допускала подобное преобразование и имела известную (лучше табулированную) функцию плотности вероятности f{g). Последнее обстоятельство существенно упрощает определение значений ₁ и ₂.

В табл. 2.1 указаны сведения, необходимые для построения доверительных интервалов для среднего значения m_x, когда неизвестна, для дисперсии и среднего квадратического отклонения _x. Предполагается, что Х — нормальная случайная величина, а наблюдения независимы. Соответствующие формулы имеют следующий вид:

, (2.9)

, (2.10)

. (2.11)

В этих формулах v = N—1, q=1—p, где р—доверительная вероятность.

Таблица 2.1

Параметр	Информация о параметрах распределения	Функция g( )	Распределение f(g)	Формула для нахождения доверительного интервала
mx	неизвестна		t- распределение	(2.9)
	mx неизвестно		2- распределение	(2.10)
х	-/-	-/-	-/-	(2.11)