23. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Характеристическое уравнение. Алгоритм нахождения собственных векторов матрицы. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Пусть дана квадратная матрица

Ненулевой вектор

называется собственным вектором матрицы если существует такое число , что

Число при этом называется собственным числом матрицы, соответствующим собственному вектору

Матричное уравнение можно переписать в виде

Последнее уравнение – есть матричная запись однородной системы уравнений с квадратной матрицей. Система имеет ненулевые решения, если

или

Последнее уравнение называется характеристическим уравнением матрицы. Все собственные числа являются корнями характеристического уравнения.

Для нахождения собственных векторов матрицы нужно выполнить следующие действия.

1. Составить характеристическое уравнение. Найти корни – собственные числа матрицы.

2. Для каждого собственного числа решить однородную систему с матрицей . Записав в матричной форме бщее решение однородной системы, находим собственные (ненулевые) векторы матрицы.

Пример 2.

Найти собственные векторы матрицы

24. Квадратичные формы. Различные способы записи. Матрица, ранг квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при линейном однородном преобразовании. Квадратичные формы

Квадратичной формой от переменных называется сумма вида

При этом предполагается, что некоторые числа, среди которых хотя бы одно не равно 0, Числа называются коэффициентами квадратичной формы.

Другой способ записи квадратичной формы

получен объединением слагаемых

Кратко квадратичная форма может быть записана

Матрица коэффициентов при переменных

называется матрицей квадратичной формы. Матрица является симметрической.

Ранг квадратичной формы – ранг матрицы квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица является невырожденной ( Предполагается, что переменные квадратичной формы могут принимать любые действительные значения. Поэтому 2 квадратичные формы равны, если они имеют одинаковые матрицы.

Пример 1. Найти матрицу и ранг квадратичной формы

Пример 2. По матрице квадратичной формы

записать саму квадратичную форму.

Если ввести в рассмотрение матрицу-столбец переменных

то квадратичную форму можно записать в матричном виде

Действительно,

Изменение матрицы квадратичной формы при линейном однородном преобразовании

Пусть переменные получены из переменных линейным однородным преобразованием

Или в матричном виде

Рассмотрим квадратичную форму Если в квадратичную форму подставить вместо переменных подставить их выражения через то получим новую квадратичную форму с некоторой матрицей При этом можно определить, как связаны матрицы и