28. Определение линейного пространства. Примеры. Линейные пространства

Линейным пространством (векторным пространством, линеалом) называется множество элементов произвольной природы, называемых векторами, для которого:

1. задано правило, по которому любым двум элементам ставится в соответствие элемент называемый их суммой и обозначаемый

2. задано правило, по которому каждому элементу и действительному числу ставится в соответствие элемент называемый произведением на и обозначаемый

3. заданные правила при любых и любых действительных числах подчинены аксиомам:

1. 

2. 

3. существует нулевой вектор такой, что

4. для каждого существует что

5. 

6. 

7. 

8. 

Замечание 1. Нет никаких ограничений на природу множества и задание правил операций суммы и умножения на число.

Замечание 2. Определено понятие действительного линейного пространства, так как в определении - операция умножения на действительное число.

Примеры. Определить, является ли множество линейным пространством.

1. Множество матриц размерности традиционные правила введения операции сложения матриц и умножения матрицы на число. (Да)

2. Множество матриц-строк размерности сложение элементов – по правилу сложения матриц; умножение на число по правилу - . (Нет)

3. Множество –множество упорядоченных наборов действительных чисел, операции определяются следующим образом

(Да, множество называется координатным пространством).

4. Множество, содержащее только число 0; обычные операции сложения и умножения на число. (Да).

29. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства. Свойства линейно завсимых векторов (доказательство одного свойства).

Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства

Рассмотрим векторы некоторого линейного пространства Вектор

при любых действительных числах также принадлежит и называется линейной комбинацией векторов . Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В этом случае также говорят, что вектор разложен по векторам

Если все коэффициенты линейной комбинации равны 0, то вектор – нулевой.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, а линейная комбинация векторов с этими числами равна нулевому вектору

Векторы называются линейно независимыми, если равенство

возможно лишь в случае, когда

Свойства линейно зависимых векторов

1. Если среди векторов есть нулевой, то векторы линейно зависимы.

Действительно, пусть . Составим линейную комбинацию

среди чисел линейной комбинации коэффициент при нулевом векторе равен 1, отличен от нуля. Следовательно, векторы линейно зависимы.

2. Если среди векторов часть векторов линейно зависимы, то все векторы линейно зависимы.

Пусть для определенности первые векторов линейно зависимы. Тогда существует набор чисел, среди которых хотя бы одно не равно 0, а линейная комбинация с этими числами равна нулевому вектору

Рассмотрим линейную комбинацию

Так как среди чисел линейной комбинации есть хотя бы один отличный от нуля, то векторы линейно зависимы.