Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины

При выдвижении гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины мы будем опираться лишь на внешний вид статистического распределения. А именно, будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределении вероятностей.

Итак, изобразим графики и выпишем формулы плотностей трёх основных распределений – нормального, показательного и равномерного.

1. Нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами a и , где -<a<+, >0:

(здесь e=2,71828…= , =3,14159…)

2. Показательное (или экспоненциальное) распределение с параметрами  и x₀, где >0, -<x₀<+:

3. Равномерное распределение на отрезке [A; B], где -<A<B<+:

Сравнение построенной гистограммы и графиков плотностей основных распреде­лений приводит к заключению о том, что предполагаемым законом распределения является показательное распределение.

Построение графика теоретической плотности распределения

Чтобы выписать плотность теоретического распределения, нужно определить значения параметров (a и  для нормального,  и x₀ для экспоненциального, А и В для равномерного) и подставить их в соответствующую формулу.

Все параметры распределений тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины. Соответствующие формулы приведены в следующей таблице:

Распределение случайной величины Х
нормальное	показательное	равномерное
МХ=а DX=2	МХ= DX=	МХ= DX=

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, их заменяют соответствующими точечными оценками, то есть используют приближенные равенства , , что позволяет найти значения параметров распределения.

По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдём параметры этого распределения:

Необходимо вычислить значения теоретической плотности f(x) при x=x₀ (то есть значение в «параметре сдвига») и при x=x_i, где x_i>x₀ (то есть значения в серединах интервалов, больших x₀). Для этого воспользуемся следующей схемой (ниже x_j=x₀ или x_j=x_i, где x_i>x₀). Схема вычисления f(x_j) приведена в таблице 3:

Таблица 3

		)
2.5	- 2.03	0.0508	0.102
4.5	- 1.63	0.1057	0.021
6.5	- 1.22	0.1895	0.037
8.5	- 0.82	0.2850	0.057
10.5	- 0.42	0.3653	0.073
12.5	-0.02	0.3989	0.079
14.5	0.38	0.3712	0.074
16.5	0.78	0.2943	0.059
18.5	1.18	0.1989	0.039
20.5	1.58	0.1145	0.023
22.5	1.98	0.0562	0.011

Далее на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения. Для получения графика плотности наносим точки с координатами (x_j; f(x_j)) и соединяем их плавной кривой.

Рис. 3. Гистограмма и график теоретической плотности распределения