Вычисление теоретических частот
Критерий Пирсона основан на сравнении
эмпирических частот с теоретическими.
Эмпирические частоты i
определяются по фактическим результатам
наблюдений. Теоретические частоты,
обозначаемые далее через
,
находят с помощью равенства
,
где n – количество
испытаний, а
‑ теоретическая вероятность попадания
значений случайной величины в i-й
промежуток (
).
Теоретические вероятности вычисляются
в условиях выдвинутой гипотезы о законах
распределения изучаемой случайной
величины.
В данном варианте принята гипотеза о нормальном распределении случайной величины. В этом случае теоретическая вероятность pi при любом i вычисляется по одной из следующих трёх формул (в зависимости от взаимного расположения i-го промежутка и числа x0):
i |
Концы промежутков |
Аргументы функции |
Значения функции |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
5.5 |
|
- 1.42 |
- 0.5000 |
- 0.4222 |
0.0778 |
8.558 |
2 |
5.5 |
7.5 |
- 1.42 |
- 1.02 |
- 0.4222 |
- 0.3461 |
0.0761 |
8.371 |
3 |
7.5 |
9.5 |
- 1.02 |
- 0.62 |
- 0.3461 |
- 0.2324 |
0.1137 |
12.507 |
4 |
9.5 |
11.5 |
- 0.62 |
- 0.22 |
- 0.2324 |
- 0.0871 |
0.1453 |
15.983 |
5 |
11.5 |
13.5 |
- 0.22 |
0.18 |
- 0.0871 |
0.0714 |
0.1585 |
17.435 |
6 |
13.5 |
15.5 |
0.18 |
0.58 |
0.0714 |
0.2190 |
0.1476 |
16.236 |
7 |
15.5 |
17.5 |
0.58 |
0.98 |
0.2190 |
0.3365 |
0.1175 |
12.925 |
8 |
17.5 |
19.5 |
0.98 |
1.38 |
0.3365 |
0.4162 |
0.0797 |
8.767 |
9 |
19.5 |
21.5 |
1.38 |
1.78 |
0.4162 |
0.4625 |
0.0463 |
5.093 |
10 |
21.5 |
|
1.78 |
|
0.4625 |
0.5000 |
0.0375 |
4.125 |
1,0000 110.00
Статистика 2 и вычисление её значения по опытным данным
Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределений.
В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина
,
называемая статистикой 2
или статистикой Пирсона (вообще,
статистикой называют любую функцию от
результатов наблюдений). Ясно, что всегда
,
причём 2=0
тогда и только тогда, когда
при каждом i, то есть
когда все соответствующие эмпирические
и теоретические частоты совпадают. Во
всех остальных случаях 20;
при этом значение 2
тем больше, чем больше различаются
эмпирические и теоретические частоты.
Вычислим значение статистики 2 для данного варианта в таблице 5.
i |
|
|
|
1 |
9 |
8.558 |
0.023 |
2 |
9 |
8.371 |
0.047 |
3 |
12 |
12.507 |
0.021 |
4 |
15 |
15.983 |
0.060 |
5 |
21 |
17.435 |
0.729 |
6 |
14 |
16.236 |
0.308 |
7 |
10 |
12.925 |
0.662 |
8 |
8 |
8.767 |
0.067 |
9 |
7 |
5.093 |
0.714 |
10 |
5 |
4.125 |
0.186 |
110 110 2.813