2. Численные методы вычисления определенных интегралов .1 Формула прямоугольников

Рассмотрим первый вид приближённого вычисления:

требуется вычислить определённый интеграл

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0,x1,x2,…,xn=b на n равных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.

Обозначим через y0,y1,y2,…,yn-1,yn значение функции f(x) в точках x0, x1, x2…,xn, то есть, если записать в наглядной формуле:

Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).

Составим суммы y0Δx+ y1Δx1+ y2Δx2…+yn-1Δx; Y1Δx+ y2Δx+…+ynΔx

Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием Δх, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через yi: Sпр=a*b=yiΔx.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем Δx=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

f(x)dx≈Δx(y0+y1+…+yn-1);

f(x)dx≈Δx(y1+y2+…+yn).

Выразив x, получим окончательно:

f(x)dx≈((b-a)/n)(y0+y1+…+yn-1);(1)

f(x)dx≈((b-a)/n)(y1+y2+…+yn);(1*)

Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (1) выражает S фигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (1*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления

Для вычисления погрешности этого метода используется формула:

где Результат полученный по формуле (1) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (1*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников

(1**)

2.2 Формула трапеций

Возьмём определённый интеграл

∫f(x)dx

где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат yi-1 и yi (i=1,2,…,n).

определенный интеграл mathcad вычисление

Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) h это Δx,a Δx=(b-a)/n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямые x=xk разбивают криволинейную трапецию на n полосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.