3. Формула Чебушева

В технических вычислениях часто применяется формула Чебышева для приближенного интегрирования.

Пусть снова требуется вычислить

Заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа Р (х), взяв на отрезке [а, b] некоторые n значений функции

где какие угодно точки отрезка [а, b]:

Получим следующую приближенную формулу интегрирования:

после некоторых вычислений она примет вид

где коэффициенты Ci вычисляются по формулам

Формула (8) громоздка и неудобна для вычислений, так как коэффициенты С выражаются сложными дробями.

Чебышев поставил обратную задачу: задать не абсциссы , а коэффициенты и определить абсциссы

Коэффициенты Ci- задаются так, чтобы формула (8) была возможно проще для вычислений. Очевидно, что это будет тогда, когда все коэффициенты Ci равны между собой: .

Если обозначить общее значение коэффициентов через Cn то формула (8) примет вид

Формула (9) представляет вообще приближенное равенство, но если f(x) есть многочлен степени не выше n - 1, то равенство будет точным. Это обстоятельство и позволяет определить вели- чины

Чтобы получить формулу, удобную для любого промежутка интегрирования, преобразуем отрезок интегрирования [а, b] в отрезок [-1, 1]. Для этого положим ; тогда при t = - 1 будет х = а, при t=1 будет х = b.

Следовательно

,

где через ф (t) обозначена функция от t, стоящая под знаком интеграла. Таким образом, задача интегрирования данной функции

f(x) на отрезке [а, b] всегда может быть сведена к интегрированию некоторой другой функции ф(х) на отрезке [-1, 1].

Итак, задача свелась к тому, чтобы в формуле

подобрать числа так, чтобы эта формула была точной для всякой функции f(x) вида

Заметим, что

С другой стороны, сумма, стоящая в правой части равенства (10), на основании (11) будет равна

Приравнивая выражения (11) и (12), получим равенство, которое должно быть справедливо при любых

Приравняем коэффициенты при в левой и правой частях равенства

Из последних n - 1 уравнений находим абсциссы Эти решения найдены Чебышевым для различных значений n.

Ниже приводятся найденные им решения в случаях, когда число n промежуточных точек равно 3, 4, 5, 6, 7, 9

Таким образом, приближенное вычисление интеграла на отрезке [ - 1,1] производится по следующей формуле Чебышева

где n -какое-либо из чисел 3, 4, 5, 6, 7 или 9, a -числа, приведенные в таблице. В качестве n нельзя брать число 8 или числа, превосходящие 9; в этом случае система уравнений (13) дает мнимые корни. Когда заданный интеграл имеет пределы интегрирования а и b, формула Чебышева принимает вид

Отметим, что теория приближенного вычисления интегралов получила дальнейшее развитие в работах академика А. Н. Крылова (1863-1945).

4. Решение задач аналитическим способом

Формула Ньютона-Лейбница.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то

Доказательство.

Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a.

Так как

то

В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно

Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом

(здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так

Пример применения формулы Ньютона-Лейбница

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то

Доказательство.

Интегрируем равенство в пределах от a до b

Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница

Следовательно

откуда и следует доказываемое равенство.

Пример

Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема. Пусть функция

определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

,

функция непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда

Доказательство.

Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции .

что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.

Пример

.