3. Равенство множеств. Подмножества. Способы задания множеств.

Множество однозначно определяется своими элементами. Поэтому множества А и В следует считать равными лишь в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов, т.е. тогда и только тогда, когда . Например, если А={а, b, с, d} и В={b, d, c, a}, то А=В. В частности, порядок расположения элементов в записи множеств при их сравнении во внимание не принимается. Рассмотрим еще пример. Пусть в плоскости заданы две точки: А и В. Обозначим середину отрезка АВ через O. Рассмотрим два множества: и Очевидно, что X=Y, так как оба множества представляют собой множество точек срединного перпендикуляра к отрезку АВ. Особо следует отметить, что каждый объект может быть элементом множества только один раз. Пусть, например, X ={х|х -гласный звук слова "математика"} . Выписывая все гласные звуки, получим: {а, е, а, и, а}. Звук "а" перечислен трижды. Вместе с тем ясно, что все звуки "а" тождественны, так что X ={а, е, и}. Имеем: {а, е , а ,и, а}={а, е, и }.

Определение. Пусть A и B - какие-то два множества. Если любой элемент x множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B и обозначают этот факт следующим образом или .

Это же определение можно переписать на языке кванторов "если элемент x принадлежит множеству A, то x принадлежит множеству B". Из введенного определения очевидно следует утверждение, если и , то A = B, т.е. множества A и B состоят из одних и тех же элементов.

Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества множества A имеем, что .

Определение. Подмножество A множества B, отличное от самого множества B и называется собственным подмножеством.

На языке кванторов это записывается следующим образом: .

Это, так называемое, "строгое" включение множества A в множество B.

Способы задания множеств.

1) Перечислением - и перечислении множества его элементы принято заключать в фигурные скобки:

{2,4,6,...} — множество четных чисел,

{3,6,9,...}— множество чисел кратных трем.

Под многоточием в данных случаях подразумеваются все последующие числа: в первом случае — четные, а во втором — кратные трем.

2) Описание свойств - для задания (описания) некоторого множества

X, состоящего из элементов, обладающих свойством

α, используют

запись X={x |α(x)}. Читается как: «

X — множество элементов

x таких, что

α(x)".

Например, Y={y | y∈N и y<7} — множество натуральных чисел, меньших 7.

4. Числовые множества.

Множество натуральных чисел N включают числа вида 1, 2, 3 и т.д., которые используются для счёта предметов.

Множество целых чисел Z состоят из натуральных чисел 1, 2, 3,..., числа 0 и чисел, противоположных к натуральным: -1, -2, -3,... .

Множество рациональных чисел Q включают в себя выше перечисленные множества и числа вида m/n, где m и n целые числа. Рациональные числа могут быть записаны в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей.

К множеству иррациональных чисел I относятся числа, которые представляются в зиде конечных десятичных дробей или в виде бесконечной периодической дроби. Например: число п .

При объединении множества рациональных чисел Q и множества иррациональных чисел Iобразуется множество действительных чисел R.

Действительные числа можно изображать в виде точек на числовой прямой. Чтобы задать числовую прямую необходимо отметить на прямой точку, которой будет соответствовать число 0- начало отсчёта, а затем выбрать единичный отрезок и указать положительнео направление.

Каждой точке на координатной прямой соответствует число, которое определяется как длина отрезка от начала отсчета до рассматриваемой точки, при этом за единицу измерения принимается единичный отрезок. Это число -координата точки. Если точка взята справа от начала отсчета, то ее координата положительная, а если слева - отрицательная. Например точки О и А имеют координаты 0 и 2, соответственно, что можно записать так: 0(0), А(2).

Модуль или абсолютная величина числа х обозначается х . Модуль числа всегда положителен. Определение модуля можно записать с помощью системы:

В геометрическом смысле модуль х представляет собой расстояние отточки А(х) до начала координат.