18. Правила дифференцирования функции. Таблица производных элементарных функций.

Производная - главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом она и сама является функцией от аргумента x

Производная записывается так: f’(x) или у’.

Хотя есть способ решения производных, основанный на определении производной, чтобы не изобретать велосипедов, задачи на вычисление производной чаще решаются с помощью таблицы производных (её вы найдёте в середине этой главы).

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

Упомянутый первый способ (по определению производной) применяется в основном для решения простых задач на физический и геометрический смысл производных и раздел об этом находится в конце данной статьи. А сначала мы будем учиться приводить функции к такому виду, чтобы их производные было возможно найти по таблице производных, чтобы сразу отточить технику дифференцирования, ибо подавляющее большинство задач основано на нахождении табличных производных. Научимся также избегать типичной ошибки при решении производной, причём сделаем это по аналогии с доступным и увлекательным примером из кулинарии.

Общий же алгоритм отыскания проиводной, который мы вам предлагаем, очень компактен:

1.Выражение, производную которой требуется найти, нужно разобрать на составные части, подобно тому, как предложение в языке может быть разобрано на подлежащее, сказуемое и другие члены предложения.

2.Поставить полученные составные части в соответствие формулам из таблицы производных (сумма, произведение, частное, степенная функция, сложная функция и др.).

3.Пользуясь таблицей производных, найти производные составных частей выражения и подставить их в выражение.

4.Записать результат.

Слово «выражение» здесь только для того используем, чтобы достичь аналогии с предложением речи, которое можно разобрать на составные части. Вообще же говорят «производная функции» (выражение это и есть функция).

19. Производная сложной и степенно-показательной функции.

Пусть функция f(x) положительна и дифференцируема в точке x. Вычислим производную функции y = ln f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

y' = f'(x)/f(x).

Это выражение называется логарифмической производной f(x). Пусть задана функция y = f(x)^g(x), f(x)>0, причем f(x), g(x) - дифференцируемые функции в данной точке. Вычислим производную этой функции.

При этих ограничениях функция z(x) = ln y(x) = g(x)ln f(x) будет дифференцируемой в силу теоремы о дифференцируемости сложной функции. Используя правило дифференцируемости произведения, найдем

(ln y(x))' = g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x).

Или

y'(x)/y(x) = g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x).

Отсюда

y'(x) = (f(x))^g(x)(g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x)).

Пример 8. Найти y', если y = (sin x)^x. Найдем

ln y = xln sin x,

тогда дифференцируя обе части равенства, получим

y'/y = ln sin x +(xcos x)/sin x.

Тогда

y' = (sin x)^x(ln sin x +(xcos x)/sin x).