Временные ряды в эконометрических исследованиях

Временным рядом называется последовательность наблюдений некоторого признака в последовательные моменты времени.

Отдельные наблюдения называются уровнями ряда и обозначаются y_t (t=1,…, n). В общем виде экономические временные ряды состоят из нескольких составляющих:

y_t =u_t+v_t+c_t+e_t,

где u_t – тренд, т.е. плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов; v_t – сезонная компонента – отражает повторяемость экономических процессов внутри не очень длительного периода (года, месяца); c_t – циклическая компонента – отражает повторяемость экономических процессов в течение длительного периода (волны Кондратьева); компоненты e_t отражают влияние случайных неподдающихся учету и регистрации факторов.

Основными этапами анализа временных рядов являются:

1. Графическое представление временного ряда.

2. Выделение и удаление составляющих u_t, v_t и c_t.

3. Сглаживание и фильтрация ряда (удаление самых низких и высоких составляющих).

4. Исследование случайной составляющей e_t.

5. Построение модели для ее описания и проверка адекватности.

6. Прогнозирование изучаемого процесса на основе полученного временного ряда.

7. Исследование зависимости между двумя временными рядами.

Различают стационарные и нестационарные временные ряды. Стационарными называются такие ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Они применяются для описания случайных составляющих ряда. Временной ряд называется строго стационарным, если распределение вероятностей ряда у₁, у₂,…, у_n такое же как у ряда у_1+τ, у_2+τ,…, у_n+τ. Среднее значение (математическое ожидание) такого ряда определяется по формуле:

где n – число уровней ряда.

Среднее квадратическое отклонение такого ряда определяется как

Степень тесноты связи между указанными рядами, сдвинутыми относительно друг друга на τ единиц (с лагом τ), измеряют с помощью коэффициента автокорреляции. Он определяется по формуле:

Функцию r(τ) называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой.

Для стационарного ряда выполняется условие: с увеличением τ взаимосвязь между y_t и y_t+τ ослабевает и автокорреляционная функция убывает по абсолютной величине. Помимо коэффициента автокорреляции рассчитывается частный коэффициент корреляции между членами временного ряда. Например, частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка вычисляется по формуле:

где r(1), r(1,2), r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y_t и y_t+1, y_t+1 и y_t+2, y_t и y_t+2, t=1, …, n.

Пример. Определить средний уровень ряда, среднее квадратическое отклонение, коэффициент автокорреляции и частный коэффициент корреляции для временного ряда, представленного в таблице 10, если τ=1.

Таблица 10

Рассчитаем коэффициент автокорреляции:

Таблица 11

Проверим рассчитанные коэффициенты с помощью Microsoft Excel.

Таблица 12

Рассчитаем частный коэффициент корреляции 1-го порядка:

Наличие автокорреляции отрицательно влияет на качестве прогноза, составленного на основе временного ряда, поэтому ее стремятся устранить.