Системы одновременных уравнений

В реальных экономических ситуациях значение у часто формируется под воздействием внешних факторов, которые влияют не только на у, но и на х, т.е. модель получается неполной, и ее следует дополнять уравнениями, в которых в качестве объясняемых переменных выступали бы х из первого уравнения. Такие системы называются системами одновременных уравнений, которые имеют не одну зависимую переменную, а целый их набор. Такие системы наиболее полно отражают экономические объекты, на которые влияют множества эндогенных (внутренних) и экзогенных (внешних) факторов. Классическим примером системы одновременных уравнений является модель спроса и предложения, когда спрос на товар Q^d определяется его ценой P и доходом потребителя I, а предложение товара Q^s также определяется его ценой. При этом на рынке достигается равновесие между спросом и предложением:

Q^d=β₁+ β₂P+ β₃I+ε₁;

Q^s= β₄+ β₅P+ε₂;

Q^d=Q^s.

В этой системе экзогенной переменной является доход потребителя, а эндогенными – спрос и предложение.

В системах одновременных уравнений могут использоваться лаговые переменные, т.е. взятые в предыдущий момент времени.

Если Q^d=Q^s, то наблюдается цена равновесия, которая формируется одновременно со спросом и предложением. Тогда P и Q можно считать объясняемыми переменными, а доход I объясняющей переменной. С математической точки зрения главное отличие между эндогенными и экзогенными переменными состоит в том, что эндогенные коррелируют с ошибками регрессии. Набор экзогенных переменных может быть различным. Например, в модель спроса и предложения может быть добавлена процентная ставка и временной тренд. Общий вид системы одновременных уравнений следующий: пусть у₁, …, у_m – эндогенные переменные, х₁, …, х_l – экзогенные переменные. Их можно представить в виде матриц:

В= Г=

Тогда общий вид системы одновременных уравнений представляется в матричной форме как:

ВY+ГX=ε, (1)

где Y= ; X= ; ε= .

Кроме регрессионных (поведенческих) системы одновременных уравнений могут содержать тождества. Тождества позволяют исключить некоторые эндогенные переменные и рассматривать систему меньшей размерности. Обычно в левой части уравнения выделяют эндогенные переменные и записывают уравнения в виде:

Y₁=α₁+β₁X₁+γ₁Y₂+ε₁,

Y₂=α₂+β₂X₂+γ₂Y₁+ε₂,

где Y= ; X= ; ε= ; В= ; Г= .

Наборы переменных Х₁ и Х₂ могут быть произвольными. Параметры β представляют собой векторы. Оценивание систем одновременных уравнений требует специальных методов, поэтому используется косвенный метод наименьших квадратов, который заключается в том, что систему решают относительно Y так, чтобы в правых частях остались только экзогенные переменные Х, а уже после этого применяют обычный метод наименьших квадратов.

Решая предыдущие уравнения относительно Y₁ и Y₂, запишем их в виде:

Y₁=a₁+b₁X₁+c₁X₂+ν₁,

Y₂=a₂+b₂X₁+c₂X₂+ν₂.

Для упрощения расчетов считают, что переменные Y отцентрированы, т.е. а=0. Затем решение происходит следующим образом:

• к уравнениям применяют обычный метод наименьших квадратов и находят параметры b и c.

• через найденные параметры определяют α, β и γ, т.е. параметры системы одновременных уравнений, исходя из равенств:

(*)

Пример. Исследуется экономическая система с числом наблюдений по переменным n=200. К системе был применен обычный метод наименьших квадратов и в результате получены следующие результаты:

= 3153.451+15.73x₁-1.2y₂.

Параметры Sa₁=5.127, Sb₁=0.687, Sc₁=0.001, R²=0.999.

= 2606.23+12.88x₂-0.83y₁.

Параметры Sa₂=1.75, Sb₂=0.581, Sc₂=0.001, R²=0.999.

Теперь применим косвенный метод наименьших квадратов.

Для этого по очереди оценим зависимость у₁ от х₁ и х₂ и зависимость у₂ от х₁ и х₂. В результате получаются следующие уравнения:

= 2242,755+471,19x₁-241,07х₂; d=1,96, R²=0,778,

(361.2) (19.04) (28.83)

= 727.7-376.37x₁+201.29х₂; d=1,96, R²=0,769.

(297.35)(15.67) (23.74)

Теперь, исходя из вида уравнений, получим:

b₁=471.19, c₁=-241.07, b₂=-376.37, c₂=201.29, a₁=2242.755, a₂=727.7.

Подставив параметры в уравнения (*), получим:

Полученные оценки называются оценками косвенного метода наименьших квадратов и как видно значительно отличаются от оценок, полученных по обычному методу. Форма уравнения (1) называется структурной формой системы одновременных уравнений, а ее параметры называются структурными параметрами. Именно в их анализе состоит экономический смысл таких систем, но не всегда можно определить эти параметры, в связи с чем возникает проблема идентифицируемости. Структурный параметр называется идентифицируемым, если он может быть однозначно оценен с помощью косвенного метода наименьших квадратов. Уравнение называется идентифицируемым, если идентифицируемы все входящие в него параметры.

Параметр называется неидентифицируемым, если его значение невозможно получить.

Параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько его различных оценок. Проблема неидентифицируемости – это проблема структуры модели, а проблема сверхидентифицируемости – это проблема количества наблюдений, которая может исчезнуть с увеличением объема выборки. Для оценки системы уравнений на идентификацию чаще всего применяют метод инструментальных переменных, в рамках которого рассматриваются два случая:

1. Система идентифицируема. Существует необходимое и достаточное условие идентификации:

• Количество экзогенных переменных х должно совпадать с количеством эндогенных переменных у. В этом случае применяют двухшаговый метод, оценки которого совпадают с оценками косвенного метода наименьших квадратов. Процедура двухшагового метода наименьших квадратов выполняется с помощью пакетов прикладных программ.

• Определяются отсутствующие переменные в каждом уравнении системы. Из коэффициентов при них составляется матрица и находится ее определитель. Если он не равен нулю, то выполняется достаточное условие идентификации.

Т.о. проверяется каждое уравнение системы.

Пример. Проверить систему уравнений на идентификацию:

В модели три переменные у, три переменные х. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации:

1-е уравнение.

• Необходимое условие – эндогенных переменных у – 2, экзогенных переменных х – 2, отсутствующих переменных у – 1, х – 1 . Условие выполняется.

• Достаточное условие – в уравнении отсутствуют у₂ и х₂. Из коэффициентов при них в других уравнениях построим матрицу:

Δ=-a₂₂*b₃₂≠0, т.е. условие выполняется.

2-е уравнение.

• Необходимое условие – эндогенных переменных у – 3, экзогенных переменных х – 1, отсутствующих переменных х – 2 . Выполняется равенство 3=2+1. Условие выполняется.

• Достаточное условие – в уравнении отсутствуют х₁ и х₃. Из коэффициентов при них в других уравнениях построим матрицу:

Δ=a₁₁*a₃₃-a₁₃*a₃₁≠0, т.е. условие выполняется.

3-е уравнение.

• Необходимое условие – эндогенных переменных у – 2, экзогенных переменных х – 2, отсутствующих переменных у – 1, х – 1. Условие выполняется.

• Достаточное условие – в уравнении отсутствуют у₁ и х₂. Из коэффициентов при них в других уравнениях построим матрицу:

Δ= -a₂₂ ≠0, т.е. условие выполняется.

Необходимое и достаточное условие идентифицируемости выполняется. Т.о. исследуемая система идентифицируема, т.к. все три уравнения, из которых она состоит, идентифицируемы.

Пример. Вычислить структурные коэффициенты модели, если дана следующая приведенная форма системы уравнений:

Решение

1. Из 3-его уравнения выразим х₂ (т.к. его нет в 1-ом уравнении структурной формы):

Это выражение содержит переменные у₃, х₁, х₃, которые нужны для 1-ого уравнения структурной формы. Подставив х₂ в 1-ое уравнение приведенной формы, получим:

– 1-ое уравнение новой формы.

2. Смотрим на 2-ое уравнение структурной формы. В нем нет переменных х₁, х₃. Сначала выразим х₁ из 1-ого или 3-его уравнения приведенной формы. Из 1-ого выражаем:

Выразим х₃ из 3-его уравнения:

Полученное выражение х₃ подставим в х₁:

х₁=0,5у₁-2х₂-5(0,2у₃+х₁-1,6х₂),

х₁=0,5у₁-у₃-5х₁+6х₂,

6х₁=0,5у₁-у₃+6х₂,

х₁=0,08у₁-0,17у₃+х₂.

Теперь в выражение х₃ подставим х₁:

х₃=0,2у₃-1,6х₂+0,5у₁-2х₂-5х₃,

6х₃=0,2у₃+0,5у₁-3,6х₂,

х₃=0,03у₃+0,08у₁-0,6х₂.

Полученные выражения х₃ и х₁ подставим во 2-ое уравнение приведенной формы:

у₂=3(0,08у₁-0,17у₃+х₂)-6х₂+2(0,03у₃+0,08у₁-0,6х₂),

у₂=0,24у₁-0,51у₃+3х₂-6х₂+0,06у₃+0,16у₁-1,2х₂,

у₂=0,4у₁-0,45у₃-4,2х₂. – 2-ое уравнение новой формы.

3. Смотрим на 3-е уравнение структурной формы. Выразим х₂ из 2-ого уравнения приведенной формы:

Полученное выражение подставляем в 3-е уравнение приведенной формы:

у₃=-5х₁+8(-0,17у₂+0,5х₁+0,33х₂)+5х₃,

у₃=-5х₁-1,36у₂+4х₁+2,64х₃+5х₃,

у₃=-х₁+7,64х₃-1,36у₂. – 3-е уравнение новой формы.

Т.о. новая структурная форма системы уравнений имеет вид:

Коэффициенты, полученные при х₁, х₂, х₃, называются структурными коэффициентами системы.

Пример. Имеются данные за 5 лет:

Номер года	Годовое потребление свинины на душу населения, фунт, у1	Оптовая цена за фунт, долл., у2	Доход на душу населения, долл., х1	Расходы по обработке мяса, % к цене, х2
1	60	5,0	1300	60
2	62	4,0	1300	56
3	65	4,2	1500	56
4	62	5,0	1600	63
5	66	3,8	1800	50

Построить модель вида:

рассчитав соответствующие структурные коэффициенты.

Решение

Система одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными имеет вид:

В каждом уравнении две эндогенные и одна отсутствующая экзогенная переменная из имеющихся в системе. Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2=1+1. Это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы.

Для определения параметров такой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов.

С этой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

в которой коэффициенты при х определяются методом наименьших квадратов.

Для нахождения значений δ₁₁ и δ₁₂ запишем систему нормальных уравнений:

При ее решении предполагается, что х и у выражены через отклонения от средних уровней, т.е. матрица исходных данных составит:

	у1	у2	х1	х2
	-3	0,6	-200	3
	-1	-0,4	-200	-1
	2	-0,2	0	-1
	-1	0,6	100	6
	3	-0,6	300	-7
Σ	0	0	0	0

Применительно к ней необходимые суммы оказываются следующими:

Σу₁х₁=1600, Σу₁х₂=-37, Σх₁²=180000, Σх₁х₂=-1900, Σх₂²=96.

Система нормальных уравнений составит:

Решая ее, получим:

δ₁₁=0,00609, δ₁₂=-0,26481.

Итак, имеем

у₁=0,00609х₁-0,26481х₂.

Аналогично строим систему нормальных уравнений для определения коэффициентов δ₂₁ и δ₂₂:

Σу₂х₁=-160, Σу₂х₂=10,2.

Следовательно:

δ₂₁=0,00029, δ₂₂=0,11207.

Тогда второе уравнение примет вид:

у₂=0,00029х₁+0,11207х₂.

Приведенная форма модели имеет вид:

из чего определяем коэффициенты структурной модели:

Итак, структурная форма модели имеет вид:

В рассмотренных примерах системы были идентифицированы, но существуют ситуации, когда система не идентифицируема. В этом случае в ней не хватает переменных х. В этом случае устраняют избыток эндогенных переменных с помощью применения двухшагового метода наименьших квадратов.

В ситуации, когда система сверхидентифицируема, наблюдается недостаток переменных у, а переменные х в модели взаимосвязаны между собой.

Рассмотрим пример решения сверхидентифицируемых систем:

где у – валовой национальный доход;

у_-1 – валовой национальный доход предшествующего года;

C – личное потребление;

D – конечный спрос (помимо личного потребления);

е₁ и е₂ – случайные составляющие.

Информация за 9 лет о приростах всех показателей дана в таблице:

Год	D	y-1	y	C
1	-6,8	46,7	3,1	7,4
2	22,4	3,1	22,8	30,4
3	-17,3	22,8	7,8	1,3
4	12,0	7,8	21,4	8,7
5	5,9	21,4	17,8	25,8
6	44,7	17,8	37,2	8,6
7	23,1	37,2	35,7	30,0
8	51,2	35,7	46,6	31,4
9	32,3	46,6	56,0	39,1
Σ	0	0	0	0

Для данной модели была получена система приведенных уравнений:

В данной модели 2 эндогенные переменные (у, С) и две экзогенные переменные (D, у_-1).

1-ое уравнение системы сверхидентифицируемо, т.к. в нем переменные C и D связаны между собой. Переменную С в 1-ом уравнении нельзя рассматривать как эндогенную, т.к. она участвует не самостоятельно, а вместе с D. Тогда эндогенных переменных – 1, экзогенных – 1.