Необходимое условие сходимости ряда

Главным вопросом при исследовании числового ряда является вопрос о его сходимости или расходимости. Сформулируем необходимое условие сходимости ряда, то есть условие, при невыполнении которого ряд расходится.

Теорема 4. Если ряд (1) сходится, то

Доказательство. Представим и_п как разность частичных сумм s_n – s_n-1. Так как ряд (1) сходится,

Тогда

Замечание. Это условие является необходимым, но не достаточным признаком сходимости, то есть из стремления общего члена ряда к нулю не обязательно следует сходимость ряда.

Остаток ряда

Для ряда ряд называется n-м остатком данного ряда.

Обозначим сумму остатка ряда (при условии, что он сходится) через . Тогда из теоремы 1 следует, что если ряд (1) сходится, то сходится и любой его остаток, и наоборот – из сходимости какого-либо остатка ряда следует сходимость ряда в целом.

Докажем еще одно свойство остатка сходящегося ряда:

Теорема 5. Если ряд (1) сходится, то

Доказательство. Если ряд сходится, то

тогда что и требовалось доказать.

Ряды с неотрицательными членами

Пусть для всех членов ряда (1) выполнено условие u_n > 0.

Теорема 6 (критерий сходимости). Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены сверху.

Доказательство. Если ряд сходится, то

но то есть последовательность частичных сумм является возрастающей. Следовательно,

то есть {s_n} ограничена сверху числом s.

1. Пусть {s_n} ограничена сверху. Обозначим через s верхнюю грань {s_n}. Тогда, так как {s_n} возрастает,

то есть число s является пределом {s_n}, следовательно, ряд сходится.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Найти сумму ряда

Указание

Воспользуйтесь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Решение

Заданный ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой b₁ = 0,5, а знаменатель q = 0,1. Тогда

Ответ:

Задача 2. Найти сумму ряда

Указание

Представьте общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

Решение

Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

Отсюда

Следовательно, частичную сумму ряда можно записать в виде:

(все остальные слагаемые сокращаются при раскрытии скобок).

Тогда

Ответ:

Задача 3. Найти сумму ряда

Указание

Представьте общий член ряда в виде суммы:

Решение

Представим общий член ряда в виде суммы:

Тогда S = S₁ + S₂, где S₁ и S₂ – суммы рядов и Вычислим эти суммы, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Ответ:

Задача 4. Какие из рядов

сходятся?

Указание

Проверьте для каждого ряда выполнение необходимого условия сходимости.

Решение

Проверим для каждого ряда выполнение необходимого условия сходимости:

ряд расходится, так как необходимое условие сходимости не выполнено.

ряд расходится, так как необходимое условие сходимости не выполнено.

ряд расходится, так как необходимое условие сходимости не выполнено.

Ответ: все расходятся.

1.1.2. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости

При исследовании числовых рядов на сходимость непосредственный поиск предела частичных сумм является в большинстве случаев весьма затруднительным. Вместо этого удобно использовать специальные признаки сходимости рядов. В частности, в этой лекции будут сформулированы и доказаны некоторые признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Интегральный признак Коши

Теорема 1. Если функция f неотрицательна и убывает на полупрямой х > 1, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным

и нтегралом

Доказательство.

Выберем натуральное число k и рассмотрим значения х на отрезке k < x < k + 1.

Тогда в силу убывания функции f

f(k) ≥ f(x) ≥ f(k + 1).

Проинтегрировав это неравенство по отрезку единичной длины [k, k + 1], получим:

откуда

.

Складывая подобные неравенства, полученные при значениях k от 1 до п, приходим к неравенству:

откуда

где

Если ряд сходится и сумма его равна s, то s_n < s, следовательно,

поэтому сходится (соответствующее свойство определенного интеграла изучалось в курсе 2-го семестра).

Если же, наоборот, предположить, что сходится то из (1) следует, что

Значит, последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху и возрастает, следовательно, ряд сходится.

Пример 1. Применим интегральный признак Коши к исследованию сходимости рядов вида сравнивая их с интегралами Рассмотрим следующие возможные значения :

а)  > 1. Тогда

(так как при  > 1 ).

Следовательно, несобственный интеграл сходится, а значит, сходится и рассматриваемый ряд.

б)  = 1. При этом

интеграл расходится, поэтому расходится и ряд.

в)  < 1. Тогда

(так как при α < 1 ).

Из расходимости несобственного интеграла следует расходимость исследуемого ряда.

Замечание. Итак, ряд вида сходится при  > 1 и расходится при  < 1. Это свойство ряда будет часто использоваться в дальнейшем.