Радикальный признак Коши
Теорема 5. Если для ряда
существует
предел
то при l < 1 ряд сходится, а при l > 1 расходится.
Доказательство.
а) Пусть l
< 1. Выберем
число q
такое, что l
< q
< 1.
Тогда можно
найти такой номер N,
что для всех
n
> N
выполняется неравенство
и, следовательно, un
< qn.
Так как ряд
сходится,
то по 1-му признаку сравнения сходится
и ряд
,
следовательно, сходится ряд
б)
Пусть теперь l
> 1, тогда
для всех п,
больших некоторого N,
то есть ип
> 1.
Следовательно, не выполнено необходимое
условие сходимости, и ряд
расходится.
Замечание 1. Так же, как в признаке Даламбера, l = 1 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Замечание 2. Если для одного и того же ряда существуют пределы по Даламберу и по Коши, то они равны друг другу.
Пример
5. Для ряда
ряд сходится.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Какие из рядов
сходятся?
Указание
Воспользуйтесь
вторым признаком сравнения и сравните
общий член каждого ряда при
с дробью
Решение
При порядок многочлена определяется его старшей степенью. Воспользуемся этим для оценки общего члена каждого из данных рядов:
Следовательно,
Ряд
сходится, поэтому по второму признаку
сравнения сходится и ряд 1.
ряд 2 сходится.
Ряд
расходится, так как
поэтому ряд 3 тоже расходится.
ряд 4 расходится.
Ответ: 1,2.
Задача 2. Какие из рядов
сходятся?
Указание
Используйте
эквивалентность бесконечно малых: при
Решение
Ряд
расходится, так как
поэтому ряд 1 тоже расходится.
Ряд сходится, поэтому сходится и ряд 2.
ряд 3 сходится.
ряд 4 расходится.
Ответ: 2,3.
Задача 3.
Какие из рядов
сходятся?
Указание
Примените первый признак сравнения.
Решение
Ряд
сходится, поэтому по первому признаку
сравнения сходится и ряд 2.
Ряд
расходится, поэтому
по
первому
признаку
сравнения
расходится и ряд 2.
ряд 3 расходится.
Ряд
сходится, поэтому сходится и ряд 4.
Ответ: 1,4.
Задача 4. Какие из рядов
сходятся?
Указание
Примените признак Даламбера.
Решение
ряд 1 расходится по признаку Даламбера.
ряд 2 сходится.
ряд 3 расходится.
ряд 4 сходится.
Ответ: 2,4.
Задача 5. Какие из рядов
сходятся?
Указание
Примените радикальный признак Коши.
Решение
ряд 1 сходится.
ряд 2 расходится.
ряд 3 сходится.
ряд 4 расходится.
Ответ: 1,3.
Задача 6. Какие из рядов
сходятся?
Указание
Примените интегральный признак Коши.
Решение
1) Исследуем сходимость несобственного интеграла
интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд 1.
2) Исследуем сходимость несобственного интеграла
интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд 2.
3) Исследуем сходимость несобственного интеграла
интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд 3.
4) Исследуем сходимость несобственного интеграла
интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд 4.
Ответ: 2,3.
1.1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов
Для числовых рядов, члены которых имеют разные знаки, задаются два вида сходимости.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд из его модулей, то есть
ряд
|
Теорема 1.. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле, то есть существует конечный предел его частичных сумм.
Доказательство. Пусть sn = u1 + u2 +…+ un , s'n – сумма всех положительных членов среди первых п членов данного ряда, s''n – сумма модулей всех отрицательных членов среди них. Если обозначить n = |u1| + |u2| +…+ |un|, то
sn = s'n – s''n , n = s'n + s''n .
Так как по условию теоремы п имеет предел , а s'n и s''n – положительные возрастающие величины, меньшие , то они тоже имеют пределы s' и s''. Следовательно,
то есть знакопеременный ряд сходится.
Замечание.
Так как ряд
является знакоположительным, то для
исследования знакопеременного ряда на
абсолютную сходимость мы можем
использовать все известные признаки
сходимости знакоположительных рядов.
Пример
1. Для ряда
ряд из модулей имеет вид
Такой ряд сходится, поэтому рассматриваемый
ряд сходится абсолютно.
Если ряд, составленный из модулей членов данного ряда, расходится, а сам данный ряд сходится, то говорят, что он сходится условно.
|