1.9. Теорема Умова – Пойнтинга

Физическое состояние любой системы наиболее отчётливо проявляется при выяснении происходящих в ней энергетических процессов. В этом отношении важное значение имеет теорема об энергии электромагнитного поля, сформулированная Пойнтингом (интеграл энергии уравнений Максвелла).

Идеи об энергии, развитые английским физиком Пойнтингом в применении к электромагнитному полю, за десять лет перед этим (в 1874 г.) были высказаны русским физиком Н. А. Умовым (1846 – 1915 гг.), который вывел впервые уравнения движения энергии применительно к твёрдым и жидким телам [7].

Теорема об энергии электромагнитного поля имеет большое значение и в том отношении, что позволяет установить необходимые и достаточные условия для однозначности решений системы уравнений Максвелла.

Рассмотрим замкнутый объём , заполненный электромагнитным полем (рис. 1.12). Причём предположим, что особые точки и поверхности отсутствуют. Среда изотропная, однородная. Запишем уравнения Максвелла:

(1.52)

.

Умножим скалярно первое уравнение (1.52) на , а второе уравнение на (1.50) на и вычтем после этого из первого уравнения второе. Получим

(1.53)

Рис.1.12

В векторном анализе доказывается, что

Кроме того, из уравнения (1.52 д) следует, что

.

Умножим скалярно на , получим .

Определим члены и . Для этого вначале найдём:

Отсюда

Аналогично

Т

(1.54)

аким образом, уравнение (1.53) принимает следующий вид:

Некоторые из полученных членов в уравнении (1.54) имеют известный нам физический смысл:

– тепло, выделяющееся в единицу времени в единице объёма (закон Джоуля – Ленца);

– представляет работу токов сторонних сил, отнесённую к единице времени и единице объёма.

Члены, зависящие от производных и по времени, определяют удельную энергию, обусловленную упругой энергией среды, энергией ориентации отдельных частиц или групп частиц, возникающую в процессе действия внешнего поля, так как в деформируемой среде величины и зависят от величины деформации, а значит и от времени, если деформирующая сила переменная. Этими свойствами среды определяются явления электрострикции и магнитострикции.

В дальнейшем пренебрежём явлениями электрострикции и магнитострикции, так как заметно они проявляются лишь в ограниченном числе материалов. Далее мы положим, что сторонние токе в рассматриваемом объёме отсутствуют. При этих условиях уравнение (1.54) примет вид

Проинтегрируем это уравнение по объёму :

Обозначим:

– вектор Умова – Пойнтинга или вектор излучения;

– плотность электрической энергии;

– плотность магнитной энергии;

– плотность электромагнитной энергии;

– тепло, выделяемое в единицу времени во всём объёме ;

– энергию, выделяемую в объёме .

Т огда

Применяя формулу Остроградского, получим:

(1.55)

где – замкнутая поверхность, ограничивающая объём ;

– внешняя нормаль к поверхности .

Уравнение (1.55) выражает теорему об энергии электромагнитного поля при отмеченных ограничениях.

1. Предположим, что

Тогда или

Всегда величина так как подынтегральная функция квадратичная, она положительная. Поэтому в данном случае количество тепла (всегда ), выделяемого во всём объёме в единицу времени, уравновешивается уменьшением величины в единицу времени. Следовательно, можем рассматривать как меру электромагнитной энергии, за счёт уменьшения которой в единицу времени выделяется тепло .

2. Рассмотрим стационарный случай, когда

Положим, что

Тогда

Так как всегда , то в этом случае имеем

Это показывает, что тепло в рассмотренном случае выделяется из области за счёт втекающего в эту область извне потока вектора . Это и позволяет рассматривать вектор как плотность потока электромагнитной энергии, поступающей в одну секунду внутрь области через единицу поверхности, ориентированную перпендикулярно вектору и ограничивающую область . Таким образом, вектор есть

(1.56)

, Вт/м².

Вектор Умова – Пойнтинга – это есть энергетический вектор, определяющий поток электромагнитной энергии, пронизывающий в единицу времени (в 1 с) единичную площадку, ориентированную нормально к направлению распространения электромагнитной волны (перпендикулярно вектору ).

3. Предположим, что область ограничена непроницаемой для электромагнитного поля оболочкой, т. е. во всех точках поверхности, ограничивающей рассматриваемую область, вектор . Кроме того, предположим, что в начальный момент времени ни зарядов, ни поля внутри области не было. Тогда, как и в случае 1, имеем

откуда следует, что

так как всегда .

С другой стороны, всегда . Но если производная от положительной функции по времени отрицательна, т. е. она убывает с течением времени, то наибольшим значением будет её начальное значение, которое мы предположили равным нулю. Следовательно, при указанных предположениях всегда . В таком случае из равенства

следует, что

,

так как подынтегральная квадратичная функция всегда положительна. При этом т. е. Таким образом, в области ограниченной замкнутой поверхностью , электромагнитное поле может существовать только в том случае, если в начальный момент оно там было, или если вектор на поверхности отличен от нуля, т. е. внутрь области может поступать электромагнитная энергия извне.

Заметим, что этот вывод становится неверным , если внутри области находятся сторонние токи, которые могут служить источниками электромагнитного поля.