1.12. Переменное электромагнитное поле. Запаздывающие потенциалы

Переменное электромагнитное поле характеризуется известными нам тремя уравнениями (1.66 – 1.68). В случае переменного электромагнитного поля нет возможности разделить магнитное поле от электрического. Это процесс взаимосвязанный. При решении необходимо знать либо сторонние токи, либо сторонние заряды, начальные и граничные условия.

Если имеем однородное безграничное пространство, то нам нужно знать только токи и заряды. На практике этот случай редок, но он имеет фундаментальное значение.

Рассмотрим этот случай для среды без потерь, т. е. при уравнения (1.66 – 1.68) примут вид:

;

(1.70)

(1.71)

;

^.

Уравнение (1.70) может быть записано в виде трёх скалярных уравнений в прямоугольной системе координат. В результате имеем:

(1.72)

где – проекции или функции ;

– означает или ;

– имеет размерность скорости.

Рис. 1.13

Уравнение (1.72) есть неоднородное волновое уравнение. Частным решением его является

(1.73)

где – объём области пространства, в котором задана функция (рис. 1.13);

– точка, находящаяся в объёме , в ней расположен источник поля;

– время, предшествующее времени на величину ;

– время запаздывания, которое необходимо, чтобы процесс распространялся от точки до точки .

Данный потенциал определяется поведением источников в момент времени . Потенциалы в силу наличия времени запаздывания называются запаздывающими. В результате для электрического вектор-потенциала и скалярного потенциала получим:

(1.74)

(1.75)

Формулы (1.74) и (1.75) находят широкое применение для расчёта изучения антенн, когда токи в них заданы.

1.13. Магнитный вектор-потенциал и магнитный скалярный потенциал

П ри рассмотрении электромагнитного поля, когда сторонние токи и заряды отсутствуют, т. е. и , уравнения Максвелла принимают вид:

(1.76)

;

;

.

Решение данной системы уравнений можно проводить двумя способами:

1. Непосредственное решение волновых уравнений через векторы поля и :

(1.77)

2. Решать задачу через вектор-потенциал и скалярный потенциал.

При этом заметим, что как и раньше, когда присутствовали сторонние токи, то , но в данном случае и . Это даёт возможность решать поставленную задачу по определению векторов и введением другого вектора-потенциала, а именно магнитного вектор-потенциала – и магнитного скалярного потенциала –

Потенциалы и вводятся следующим образом:

(1.78)

так как , следовательно и ( ), т. е. .

Знак минус в (1.78) взят потому, чтобы в итоге получить волновые уравнения для и такие же, как и для электрических потенциалов. При этом вектор определяется по формуле

(1.79)

При этом для любого из векторов и и соответствующих им скалярных потенциалов и имеют место одни и те же уравнения

(1.80)

Однако уравнения связи будут различными:

для и

для и (1.81)

В зависимости от того, какую пару потенциалов мы возьмём, получим волны электрического (из и ) или магнитного (из и ) типов. Наличие тех или других волн зависит от возбуждающих их источников.