§2. Предел последовательности.

Рассмотрим в нормирован­ном пространстве последовательность элементов .

Определение 1. Элемент называется пределом последовательности , если при . Если есть предел , то будем писать или при и говорить, что последовательность сходится к или просто сходится. Назовем окрестностью точки любой открытый шар .

Упражнение 1. Покажите, что если то

1. в любой окрестности точки находятся все члены последовательности , за исключением, быть может, их конечного числа;

2. предел единствен;

3. любая подпоследовательность последовательности сходится к ;

4. если при , то при ;

5. если, кроме того, при , то , .

6. Пользуясь неравенством (1) §1, доказать, что если , , то , .

Определение 2. Множество назовем ограниченным, если его можно заключить в некоторый шар. Точнее, ограничено, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Упражнение 2. Докажите, что всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Пример 1. Рассмотрим пространство (см. пример 2 §1). Какова будет сходимость в ?

Пусть и при . Тогда значит, . Это означает, что каждая координата вектора сходится к соответствующей координате вектора . Можно поэтому сказать, что сходимость в — покоординатная.

Пример 2. Рассмотрим пространство (см. пример 1 §1). Пусть при . Это означает, что при

Поскольку для любого

то из (1) следует, что

Согласно предыдущему примеру это означает, что сходимость в — также покоординатная.

§3. Неравенства Гёльдера и Минковского для сумм.

В этом пункте мы доказываем два важных вспомогательных неравен­ства.

Пусть числа и связаны соотношением . Рассмотрим на полуоси функцию

Упражнение. Докажите с помощью дифференциального исчисления, что — единственная точка минимума функции на и что, таким образом, справедливо неравенство

Положим в (1) , и получим следующее нервенство:

Исходя из неравенства (2), мы докажем неравенство Гёльдера для сумм. Для любых комплексных чисел ; справедливо следующее неравенство Гёльдера:

Для доказательства введем обозначения

Допустим, что оба эти выражения отличны от нуля (если это не так, то (3) очевидно).

Полагая в (2) получим

Суммируя по от до , имеем

Следовательно, справедливо неравенство Гёльдера

Докажем теперь неравенство Минковского

Прежде всего заметим, что

К каждой из сумм в правой части неравенства применим неравенство Гёльдера:

ибо . Точно так же

Складывая два последних неравенства, получим

Будем считать, что (если эта сумма равна нулю, то неравенство Минковского (4) очевидно). Деля неравенство (5) на и вспоминая, что получаем искомое неравенство (4).

§ 4. Пространство

Пусть .Превратим в нормированное пространство, которое мы будем обозначать , вводя в нем норму по следующей формуле:

Проверка аксиом 1) и 2) нормы здесь очевидна.

Аксиома треугольника представляет собою доказанное в §3 при неравенство Минковского.

Упражнение 1. Докажите неравенство треугольника в . Заметим, что при (см. пример 1 §1), т.е. представляет собою евклидово пространство.

Какова сходимость в ? Здесь можно провести рассуждение по образцу примера 2 §2.

Пусть  норма кубическая.

Упражнение 2. Докажите следующее неравенство:

Из правой части этой оценки следует, что если и если , , в , то , , и в , ибо

Обратно, если , , в то вследствие неравенства мы имеем , , в .

Таким образом, сходящиеся последовательности в и совпадают и сходимость в , как и в , есть сходимость покоординатная.