Завдання №3.

Використовуючи критерії типу Граббса, перевірити наступну експериментальну вибірку даних (Х) на наявність аномальних членів:

=3,68; =5,08; =2,81; =4,43; =3,11; =2,95; =4,65; =3,43; =4,76; =6,35; =3,27; =3,26; =2,75; =3,78; =4,08; =2,48; =4,15; =4,51; =4,84.

Розв’язок завдання №3.

У практичній діяльності з метрології і в задачах статистичного управління важливу роль відіграють статистичні критерії, призначені для виділення аномальних спостережень (викидів). Якщо не виключити викиди з аналізованих даних, то традиційно вживані класичні методи статистичного аналізу, що, як правило, не є робастними, найчастіше призводять до некоректних результатів.

Викиди – це дані серед початкових результатів вимірів, які настільки відхиляються від порівнянних даних, що визнаються несумісними. Досвід показав, що не можливо в усіх випадках уникнути викидів, і з ними треба поступати так само, як з помилковими даними: явно помилкові дані мають бути вивчені і виправлені або виключені.

Аналіз даних, як статистична задача, що вирішується експертом, передбачає на першому етапі критичне вивчення даних з метою виявлення і обробки викидів і інших нерегулярностей. Для аналізу даних на викиди необхідно використовувати статистичні прийоми (тести), які описані в міжнародному стандарті ISO5725-2, п.7.3.

Наявність викидів може змінити розрахункові оцінки, так що рішення про виключення даних треба приймати тільки після ретельного аналізу. Є два підходи до ухвалення таких рішень:

1. Графічний аналіз сумісності;

2. Статистичне тестування викидів:

Для статистичного аналізу даних на наявність викидів і ідентифікації викидів застосовують критерії Кохрена і Граббса, приведені в п.п. 7.3.3 і 7.3.4 ISO5725-2.

Методи вибракування спостережень, що регламентуються при рішенні вищезгаданих завдань, в більшості випадків спираються на припущення про приналежність спостережуваних величин нормальному закону розподілу. Це виправдано, хоча на практиці припущення про нормальність, наприклад, законів розподілу помилок вимірів дуже часто порушується.

Найчастіше для перевірки спостережень на викид застосовують прості критерії Граббса. Критерії використовуються для перевірки на аномальність спостережень, що належать вибіркам з нормальної генеральної сукупності. Використання саме цих критеріїв передбачає міжнародний стандарт ISO5725. Статистики критерію Граббса передбачають можливість перевірки на наявність у вибірці або одного аномального спостереження (найменшого або найбільшого), або двох (двох найменших у вибірці або двох найбільших).

Критерій Граббса перевірки на один викид.

Нехай , , … , - спостережувана вибірка, - побудований по ній варіаційний ряд. Гіпотеза Н₀ , що перевіряється, полягає в тому, що усі , , … , належать одній генеральній сукупності. При перевірці на викид найбільшого вибіркового значення конкуруюча гіпотеза Н₁ полягає в тому, що належать одному закону, а деякому іншому, істотно зрушеному вправо. При перевірці на викид статистика критерію Граббса має вигляд

, (3.1)

де

, (3.2)

. (3.3)

При перевірці на викид найменшого вибіркового значення конкуруюча гіпотеза Н₁ припускає, що належить деякому іншому закону, істотно зрушеному вліво. В даному випадку обчислювана статистика набирає вигляду

, (3.4)

Максимальне або мінімальне спостереження вважається викидом, якщо значення відповідної статистики перевищить критичне :

, (3.5)

де п – об’єм вибірки, α – рівень значущості, що задається.

Критичні значення можна взяти з таблиць, що наведені в стандарті ISO5725-2: «Точність (правильність і прецизійність) методів і результатів вимірювань. Частина 2.». але слід зауважити, що в таблиці процентних точок , що наведена в стандарті ISO5725-2 (табл.5), невірно вказані рівні значущості а . Насправді в цій таблиці представлені значення, відповідні рівням значущості 0,005 і 0,025, а не 0,01 і 0,05. Щоб переконатися в цьому, досить звернутися до першоджерела [6]. Ця невідповідність була помічена в процесі досліджень розподілів статистик Граббса[7]. Це зауваження в силі і для процентних точок статистик, призначених для аналізу на викиди одночасно двох мінімальних або двох максимальних вибіркових значень. Внаслідок такого непорозуміння при заданні рівня значущості 0,01 або 0,05 і використанні значень критичних точок, приведених в стандарті ISO5725-2 (табл.5), помилково не відбраковуватиметься частина викидів. Тому слід користуватися скорегованою таблицею, наведеною в Додатку 2.

Побудуємо за спостережуваною вибіркою варіаційний ряд, тобто проведемо ранжирування експериментальної вибірки з порядку збільшення її членів:

=2,48; 2,75; =2,81; =2,95; 3,11; =3,26; 3,27; =3,43; 3,68; =3,78; 4,08; =4,15; 4,43; =4,49; 4,51; =4,65; 4,76; =4,84; 5,08; =6,35.

Перевіримо найменший =2,48 і найбільший =6,35 члени варіаційного ряду на викид, тобто на задоволення критерію Граббса (3.5). Для цього обрахуємо відповідно до (3.2) середнє вибіркове і відповідно до (3.3) середнє квадратичне відхилення s:

Підставив знайдені значення , s, а також і в (3.1), (3.4), знаходимо:

. (3.6)

Для рівнів значущості виберемо найбільш вживані значення: α₁ =0,01; α₂=0,05; α₃=0,1.

По таблиці з Додатку 2 знаходимо критичні значення для α₁ =0,01; α₂=0,05; α₃=0,1:

(0,01;20)=2,884; (0,05;20)=2,557; (0,1;20)=2,385 . (3.7)

Порівнюючи (3.6) з (3.7) робимо висновок, що для рівнів значущості α₁ =0,01 і α₂=0,05 обидва члени варіаційного ряду - і не є викидами, в той час як для α₃=0,1 нульова гіпотеза про належність до генеральної сукупності не справджується, тобто на цьому рівні значущості є викидом.

ВИСНОВОК.

Для рівнів значущості α₁ =0,01 і α₂=0,05 обидва члени варіаційного ряду - =2,48 і =6,35, що є найменшим і найбільшим членами емпіричної сукупності даних, не є викидами оскільки , тоді як для рівня значущості α₁ =0,01 критерій Граббса (3.5) для =6,35 не виконується, тобто , що свідчить про те, що дана вибірка не належить до генеральної сукупності і найбільший член вибірки на вказаному рівні значущості можна вважати викидом.