2.11. Синтез многомерных систем управления с заданными динамическими свойствами

Рассмотрим метод синтеза многомерных систем на основе задания соответствий входных и выходных сигналов системы. При подаче на входы системы стандартных сигналов оценка реакций на эти сигналы может быть рассмотрена в качестве характеристики динамических свойств многомерной системы. Это позволяет задавать требования к системе в виде совокупности векторов входных и выходных сигналов, что соответствует заданию желаемых динамических свойств в виде передаточной матрицы системы.

В результате формулируем следующую задачу: при известных динамических характеристиках объекта управления, заданных соответствующими передаточными матрицами, определить структуру и элементы матрицы регулятора таким образом, чтобы при установленных воздействиях характер перехода системы в новое установившееся состояние минимально отличался от заданного.

Пусть S(p) – n-мерная вектор-функция заданных выходных характеристик системы при стандартных входных сигналах. В качестве входных сигналов примем единичный скачок.

В качестве обобщенных динамических характеристик можно использовать изображения переходных характеристик:

. (2.81)

Вариацией коэффициентов выражения можно достичь существенных качественных изменений переходных характеристик.

С учетом передаточной матрицы объекта и выходных характеристик (2.81) можно найти вектор операторов на входе в объект или выходов регулятора:

U(p) = [W_об(p)]^1S(p). (2.82)

Пусть система имеет структурную схему вида рис. 2.11.

g(p)

 (p)

u(p)

Y(p)

W_p(p)

W_об(p)

Рис. 2.11. Структурная схема многомерной системы

Если при синтезе системы использовать скачкообразные входные сигналы, то получаем

(p) = (1/p)[I  S(p)], (2.83)

где I – единичная матрица размерности матрицы S.

Зная (2.82) и (2.83), можно найти передаточную матрицу регулятора.

W_p(p) = [(1/p)I  S(p)]^1[W_об(p)]^1. (2.84)

Вместе с тем элементы матрицы регулятора W_p(p) на основе (2.74) не всегда могут быть найдены однозначно.

Рассмотрим примеры.

Передаточная матрица объекта имеет вид:

. (2.85)

Принимаем матрицу

. (2.86)

На основании уравнения (2.77) получаем

. (2.87)

2.12. Синтез систем управления объектами в области переменных состояния

Модель объекта управления в переменных состояния имеет вид:

= Ax(t) + Bu(t); (2.88)

Y(t) = cx(t). (2.89)

Пусть имеем скалярное управление, которое является функцией переменных состояния в виде

. (2.90)

Используя уравнение (2.88), можно записать характеристическое уравнение замкнутой системы

|pI  (A  BK)| = 0. (2.91)

По условиям синтеза корни характеристического уравнения должны иметь значения –p₁, p₂, …, p_n. Это позволяет записать характеристическое уравнение в виде

(p + p₁)(p + p₂)…(p + p_n) = pⁿ + _n1p^n1 + … + ₀ = 0. (2.92)

Приравнивая уравнения (2.91), (2.92)

|pI  (A  BK)| = pⁿ + _n1p^n1 + … + ₀ (2.93)

и коэффициенты при одинаковых степенях p, можно составить систему из n уравнений для нахождения коэффициентов k_i.

Решение данной задачи существенно упрощается, если уравнения состояния будут иметь вид

. (2.94)

Такая модель может быть получена, например, на основе передаточной функции объекта

. (2.95)

Матрица коэффициентов замкнутой системы (A  BK) имеет вид

. (2.96)

Характеристическое уравнение замкнутой системы записывается в виде

рⁿ + (a_n-1 + k_n)p^n1 + … + (a₁ + k₂) + (a₀ + k₁) = 0. (2.97)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p в уравнениях (2.96) и (2.97), получим

a_i1 + k_i = _i1. (2.98)

Откуда коэффициенты k_i находятся из уравнения

k_i = _i1  _i1. (2.99)

Рассмотренные методы синтеза можно дополнять методом Аккермана, основанном на формуле

K = [B AB … A^n1B]^1(A), (2.100)

где А) – матричный полином, образованный на основе теоремы Гамильтона-Кели

(A) = Aⁿ + _n-1A^n-1 + … + ₁A + ₀I; (2.101)

B^T = [0 0 … 0 1]. (2.102)

В качестве примера рассмотрим синтез системы объекта управления

(2.103)

с желаемым характеристическим уравнением

p² + (p₁ + p₂)p + p₁p₂ = 0. (2.104)

Находим матрицу

, (2.105)

матрицу

(2.106)

и матрицу

. (2.107)

Определяем А) на основании (2.75):

.

(2.108)

Далее используем формулу (2.100):

(2.109)

Если рассматриваемый объект имеет векторное управление размерности m, то для нахождения элементов матрицы K можно использовать следующую идею. Будем искать желаемую (mn)-матрицу K в виде

K = qK^ , (2.110)

где q – (m1) столбец, а K^ – (1n)-строка. Тогда матрица замкнутой системы управления

A^ = A – BK = A  B^K^ , (2.111)

где В^ = Bq – (n1)-столбец.

Зададимся q = 0 из условия управляемости пары (АВ). В результате преобразований (2.110), (2.111) получаем задачу аналогичную рассмотренной ранее. Тогда, используя полученные выше алгоритмы для матриц А; В, находится строка К^, которая обеспечивает любое заданное расположение собственных чисел. После чего рассчитывают матрицу К на основе (2.110). При этом необходимо правильно выбрать q. Если матрица А имеет простые собственные числа, то известно, что матрицу q можно выбрать практически любую.

Например, имеем

; . (2.112)

Пусть

. (2.113)

Тогда

. (2.114)

(2.115)

и условие управляемости выполняется.