Атом водорода. Линейчатые спектры

Простейший из атомов, атом водорода явился своеобразным тест-объектом для теории Бора. Ко времени создания теории он был хорошо изучен экспериментально. Было известно, что он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон – положительно заряженная частица, заряд которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Еще в начале XIX века были открыты дискретные спектральные линии в видимой области излучения атома водорода (так называемый линейчатый спектр). Впоследствии закономерности, которым подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра, были хорошо изучены количественно (И. Бальмер, 1885 г.). Совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра была названа серией Бальмера. Позже аналогичные серии спектральных линий были обнаружены в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 году И. Ридберг получил эмпирическую формулу для частот спектральных линий:

Для серии Бальмера m = 2, n = 3, 4, 5, ... . Для ультрафиолетовой серии (серия Лаймана) m = 1, n = 2, 3, 4, ... . Постоянная R в этой формуле называется постоянной Ридберга. Ее численное значение R = 3,29·10¹⁵ Гц. До Бора механизм возникновения линейчатых спектров и смысл целых чисел, входящих в формулы спектральных линий водорода (и ряда других атомов), оставались непонятными.

Постулаты Бора определили направление развития новой науки – квантовой физики атома. Но они не содержали рецепта определения параметров стационарных состояний (орбит) и соответствующих им значений энергии E_n.

Правило квантования, приводящее к согласующимся с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода, Бором было угадано. Он предположил, что момент импульса электрона, вращающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка. Для круговых орбит правило квантования Бора записывается в виде

Здесь m_e – масса электрона, υ – его скорость, r_n – радиус стационарной круговой орбиты. Правило квантования Бора позволяет вычислить радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и определить значения энергий. Скорость электрона, вращающегося по круговой орбите некоторого радиуса r в кулоновском поле ядра, как следует из второго закона Ньютона, определяется соотношением

где e – элементарный заряд, ε₀ – электрическая постоянная. Скорость электрона υ и радиус стационарной орбиты r_n связаны правилом квантования Бора. Отсюда следует, что радиусы стационарных круговых орбит определяются выражением

Самой близкой к ядру орбите соответствует значение n = 1. Радиус первой орбиты, который называется боровским радиусом, равен

Радиусы последующих орбит возрастают пропорционально n².

Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, обращающегося по стационарной круговой орбите радиусом r_n, равна

Следует отметить, что E_p < 0, так как между электроном и ядром действуют силы притяжения. Подставляя в эту формулу выражения для υ² и r_n, получим:

Целое число n = 1, 2, 3, ... называется в квантовой физике атома главным квантовым числом.

Согласно второму постулату Бора, при переходе электрона с одной стационарной орбиты с энергией E_n на другую стационарную орбиту с энергией E_m < E_n атом испускает квант света, частота ν_nm которого равна ΔE_nm / h:

Эта формула в точности совпадает с эмпирической формулой Ридберга для спектральных серий атома водорода, если положить постоянную R равной

R = 3,29·1015 Гц,

Подстановка числовых значений m_e, e, ε₀ и h в эту формулу дает результат

который очень хорошо согласуется с эмпирическим значением R. Рис. 6.3.1 иллюстрирует образование спектральных серий в излучении атома водорода при переходе электрона с высоких стационарных орбит на более низкие.

На рис. 6.3.2. изображена диаграмма энергетических уровней атома водорода и указаны переходы, соответствующие различным спектральным сериям.

Рисунок 6.3.1. Стационарные орбиты атома водорода и образование спектральных серий

Рисунок 6.3.2. Диаграмма энергетических уровней атома водорода. Показаны переходы, соответствующие различным спектральным сериям. Для первых пяти линий серии Бальмера в видимой части спектра указаны длины волн

ФРАНКА - ГЕРЦА ОПЫТ - опыт, показавший, что внутр. энергия атома не может изменяться непрерывно, а принимает определённые дискретные значения (квантуется). Впервые поставлен в 1913 нем. физиками Дж. Франком (J. Franck) и Г. Герцем (G. Hertz). Сыграл важную роль в эксперим. подтверждении теории атома Бора (см. Атомная физика).

В опыте исследовалась зависимость силы тока I от ускоряющего потенциала V между катодом К (рис. 1) и сеткой C₁; между сеткой С₂ и анодом А приложен замедляющий потенциал. Электроны, ускоренные в области I, испытывают в области II соударения с атомами паров ртути, заполняющими трубку Л. На анод А попадают только те электроны, энергия к-рых после соударения с атомом достаточна для преодоления замедляющего потенциала в области III. При увеличении ускоряющего потенциала от 0 до 4,9 В гальванометр показал монотонный рост I; т.о., в этой области V соударения электронов с атомами носят упругий характер, внутр. энергия атомов не меняется. При значении V>=4,9 B (и кратных ему значениях V>=9,8; 14,7 B,...)на кривой I(V)появляются спады (рис. 2): соударения электронов с атомами становятся неупругими- внутр. энергия атомов растёт за счёт энергии электронов.

Рис. 1. Схема опыта Франка-Герца.

Таким образом, Ф.- Г. о. показал, что спектр поглощаемой атомом энергии не непрерывен, а дискретен, мин. порция энергии (квант энергии), к-рую может поглотить атом Hg, равна 4,9 эВ. Значение длины волны l=253,7 нм свечения паров Hg, возникавшее при V>=4,9 B, оказалось в соответствии со вторым постулатом Бора

г де -энергии основного и возбуждённого уровней энергии; в Ф.- Г. о.

Рис. 2. Зависимость I(V), полученная в опыте Франка-Герца.

7. Развитие взглядов на природу света. Эффект Комптона. Тормозное рент-геновское излучение. Коротковолновая граница тормозного рентгеновского спек-тра. Опыт Боте. Фотоны. Экспериментальное определение постоянной Планка.

Развитие взглядов на природу света

Оптическое излучение (или свет в широком смысле слова) – это электромагнитные волны, длины которых находятся в диапазоне от 10^-11 до 10^-2 м (от единиц до десятых долей мм) или диапазон частот которых примерно равен 3*10¹¹…3*10¹⁷ Гц.

Как и для любого другого излучения, имеется источник оптического излучения и приёмник оптического излучения. Приёмником оптического излучения, может быть, например, человеческий глаз. Человеческий глаз способен воспринимать оптическое излучение с длиной волны от 400 до 760 нм. Это видимое излучение. Кроме видимого излучения, к оптическому излучению также относятся инфракрасное излучение (с длиной волны от 0,75 до 2000 мкм) иультрафиолетовое излучение (с длиной волны от 10 до 400 нм). Световые волны изучают с помощью оптических методов, которые исторически сложились при анализе законов видимого света.

В 17-м веке были высказаны первые научные гипотезы о природе света. Свет обладает энергией и переносит её в пространстве. Переносить энергию могут либо тела, либо волны, поэтому о природе света вдвинуты две теории.

Корпускулярная теория света (от латинского corpusculum – частица) была предложена в 1672 году английским учёным Исааком Ньютоном (1643 – 1727). Согласно этой теории, свет – это поток частиц, которые во все стороны испускает источник света. С помощью этой теории объяснялись такие оптические явления, как, например, различные цвета излучения.

Голландским учёным Христианом Гюйгенсом (1629 – 1695) также в 17-м веке была созданаволновая теория света, согласно которой свет имеет волновую природу. С помощью этой теории хорошо объясняются такие явления, как интерференция, дифракция света и т.д.

Обе эти теории длительное время существовали параллельно, так как ни одна из них в отдельности не могла полностью объяснить все оптические явления. К началу 19-го века после исследований французского физика Огюстена Жана Френеля (1788 – 1827), английского физика Роберта Гука (1635 – 1703) и других учёных выяснилось, что волновая теория света имеет преимущество перед корпускулярной. В 1801 году английский физик Томас Юнг (1773 – 1829) сформулировал принцип интерференции (усиление или ослабление освещённости при наложении световых волн друг на друга), что позволило ему объяснить цвета тонких плёнок. Френель объяснил, что такое дифракция света (огибание светом препятствий) и прямолинейность распространения света.

И всё же волновая теория света имела один существенный недостаток. В ней предполагалось, что световое излучение представляет собой поперечные механические волны, которые могут возникать только в упругой среде. Поэтому была создана гипотеза о невидимом мировом эфире, который представляет собой гипотетическую среду, заполняющую всю Вселенную (всё пространство между телами и молекулами). Мировой эфир должен был обладать целым рядом противоречивых свойств: должен обладать упругими свойствами твёрдых тел и быть одновременно невесомым. Эти трудности были разрешены во 2-й половине 19-го века при последовательном развитии учения английским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом (1831 – 1879) об электромагнитном поле. Максвелл пришёл к вводу, что свет есть частный случай электромагнитных волн.

Однако в начале 20-го века были обнаружены прерывистые, или квантовые свойства света. Этим свойствам давала объяснение корпускулярная теория. Таким образом, свет обладает корпускулярно-волновым дуализмом (двойственностью свойств). В процессе распространения свет обнаруживает волновые свойства (то есть ведёт себя как волна), а при излучении и поглощении – корпускулярные свойства (то есть ведёт себя как поток частиц).

Эффект Комптона

В 1923 г. американский физик А.Комптон, исследуя рассеяние рент­геновского излучения различными веществами, обнаружил, что в нем наряду с излучением первоначальной длины волны λ₀ содержится также излучение с большей длиной λ.

Разность Δλ = λ – λ₀, получившая название комптоновского сдвига, оказалась зависящей только от угла θ между направле­ниями рассеянного и первичного лучей. Сдвиг Δλ от длины волны λ₀ и от природы рассеивателя не зависит и определяется формулой

, (1.1.1)

где измеренное экспериментальное значение постоянной λ_С оказа­лось равным 2,43·10^–2 нм.

Из того факта, что Δλ не зависит от природы рассеивающего вещества следует, что рассеяние лучей происходит не на атомах, а на электронах мишени. С точки зрения классического волнового описания механизм рассеяния состоит в следующем: электрическое поле падающей волны с частотой ω "раскачивает" электроны в мишени с той же самой частотой. При этом электроны излучают, подобно элементарному диполю, вторичные волны с той же самой частотой симметрично относительно плоскости, нормальной к направлению первичного излучения. Таким образом, в классической волновой картине рассеянное излучение независимо от угла рассеяния должно обладать одной и той же частотой - частотой ω₀ падающей волны. Этот результат противоречит эксперименту, что говорит о недостаточности волнового описания рассеяния света очень коротких длин волн на веществе.

Комптон интерпретировал свои экспериментальные результаты, постулировав, что падающее на мишень рентгеновское излучение должно описываться не как волна с частотой ω₀, а как поток квантов, каждый с энергией . Процесс рассеяния в этой модели представляет собой упругое столкновение фотона со свободным покоящимся электроном вещества. Налетающий фотон передает при столкновении часть своей энергии электрону, поэтому рассеянный квант обладает меньшей энергией Е, а, следовательно, рассеянное излучение - меньшей частотой .

рис. 1.1

Изложим аргументы в пользу модели свободного и покоящегося до рассеяния электрона мишени. Справедливость этих предположений следует из того, что энергия рентгеновского кванта (десятки килоэлектрон-вольт) на несколько порядков превосходит энергию связи электрон в атоме. Условие, при выполнении которого электрон может считаться покоящимся и свободным, достаточно очевидно: энергия, переданная электрону в акте рассеяния, должна значительно превосходить как его кинетическую энергию, так и энергию связи в атоме. Наиболее слабо связанные электроны внешних оболочек атомов (кинетическая энергия и энергия связи порядка нескольких электрон-вольт) заведомо удовлетворяют этому условию.

Импульсы фотона до и после рассеяния составляют соответственно

и ,(1.1.2)

где ω₀, ω и k₀, k – соответственно частоты и волновые числа падающей и рассеянной волн. Поскольку фотон летит в направлении распространения электромагнитной волны, направление его импульса совпадает с . Следовательно, соотношения (1.1.2) можно представить в векторной форме:

и (1.1.3)

На рис. 1.1 изображена диаграмма импульсов для упругого столкновения фотона со свободным покоящимся до столкновения электроном. Здесь – импульс налетающего фотона; – им­пульс фотона, рассеянного под углом θ; φ и – угол вылета и импульс электрона отдачи.

До столкновения импульс электрона равен нулю, а его энергия равна , где – инвариантная масса электрона ("масса покоя" частицы). После столкновения электрон приобретает импульс и энергию .

Из законов сохранения энергии и импульса системы следуют два равенства:

(1.1.4)

(1.1.5)

Разделим обе части равенства (1.1.5) на с и перегруппируем члены:

.

Возведение этой формулы в квадрат даст .

В равенстве (1.1.5) перенесем налево слагаемое и возведем в квадрат обе части получившегося при этом уравнения:

(1.1.7)

где θ – угол между и . Из сравнения (1.1.6) и (1.1.7) получим

Умножим обе части этого равенства на 2π и разделим на . В итоге найдем, что (1.1.8)

Если теперь учесть, что из (1.1.8) последует формула

(1.1.9)

где величину (1.1.10)

называют комптоновской длиной волны той частицы, масса m кото­рой фигурирует в формуле. В рассматриваемом нами явлении λ_С – комптоновская длина волны электрона: . Подстановка в опре­делении (1.1.10) числовых значений и с дает для электрода значение λ_С = 2,43·10^–2 нм, совпадающее с экспериментальным.

Таким образом, в рамках корпускулярного описания электромаг­нитного излучения мы получили одну из основных закономерностей эффекта Комптона, выражаемую формулой (1.1.1). Обратим внимание на то, что в пределе h→0 комптоновская длина волны λ_С части­цы, а следовательно, и комптоновский сдвиг Δλ обращаются в нуль, что совпадает с выводом классической теории. Такое совпадение не случайно и в дальнейшем нам не раз придется столкнуться с формаль­ным переходом результатов квантовой механики в результаты класси­ческой при h→0. Отсюда следует важный вывод о том, что наличие в некотором выражении постоянной Планка является характерным приз­наком его "квантово-механической природы". Так, в частности, эф­фект Комптона представляет собой сугубо квантовое явление.

За открытие и объяснение эффекта А.Комптон был удостоен Нобелевской премии по физике в 1927 г.

Тормозное рентгеновское излучение

Для объяснения свойств теплового излучения пришлось ввести представление об испускании электромагнитного излучения порциями (квантами). Квантовая природа излучения подтверждается также существованием коротковолновой границы тормозного рентгеновского спектра.

Р ентгеновское излучение возникает при бомбардировке твердых мишеней быстрыми электронами (рис. 2.6) Здесь анод выполнен из W, Mo, Cu, Pt – тяжелых тугоплавких или с высоким коэффициентом теплопроводности металлов.

Только 1–3 % энергии электронов идет на излучение, остальная часть выделяется на аноде в виде тепла, поэтому аноды охлаждают водой.

Попав в вещество анода, электроны испытывают сильное торможение и становятся источником электромагнитных волн (рентгеновских лучей).

Начальная скорость электрона при попадании на анод определяется по формуле: где U – ускоряющее напряжение.

>Заметное излучение наблюдается лишь при резком торможении быстрых электронов, начиная с U ~ 50 кВ, при этом (с – скорость света). В индукционных ускорителях электронов – бетатронах, электроны приобретают энергию до 50 МэВ, = 0,99995 с. Направив такие электроны на твердую мишень, получим рентгеновское излучение с малой длиной волны. Это излучение обладает большой проникающей способностью.

С огласно классической электродинамике при торможении электрона должны возникать излучения всех длин волн от нуля до бесконечности. Длина волны, на которую приходится максимум мощности излучения, должна уменьшиться по мере увеличения скорости электронов, что в основном подтверждается на опыте (рис. 2.7).

Однако есть принципиальное отличие от классической теории: нулевые распределения мощности не идут к началу координат, а обрываются при конечных значениях – это и естькоротковолновая граница рентгеновского спектра.

Экспериментально установлено, что .

Существование коротковолновой границы непосредственно вытекает из квантовой природы излучения. Действительно, если излучение возникает за счёт энергии, теряемой электроном при торможении, то энергия кванта не может превысить энергию электрона eU,

В данном эксперименте можно определить постоянную Планка h. Из всех методов определения постоянной Планка метод, основанный на измерении коротковолновой границы тормозного рентгеновского спектра, является самым точным.

Опыт Боте

О пыт Боте (1924 г.). В этом опыте тонкая металлическая фольга Ф освещалась рентгеновскими лучами малой интенсивности, вызывающими в фольге слабую рентгеновскую флюоресценцию (послесвечение). Рентгеновское излучение от фольги попадало на два счетчика ионизирующего излучения Сч1 и Сч2 (счетчики Гейгера). Чувствительность таких счетчиков настолько велика, что они могут регистрировать отдельные рентгеновские кванты. Срабатывая, счетчики приводили в действие механизмы самописцев М1 и М2, делающие отметки на движущейся ленте Л. В результате получено, что отметки на ленте от двух самописцев, связанные с моментами попадания в счетчики рентгеновских квантов, абсолютно случайны. Этот факт можно было объяснить лишь беспорядочным попаданием рентгеновских квантов, рассеиваемых фольгой то в одном, то в другом направлении, тогда как согласно волновым представлениям излучение от источника должно распространяться равномерно во все стороны.

Фотоны

Фотоны - это кванты света. Фотоны не имеют массы покоя и электрического заряда, стабильны. Спин фотона равен 1.

Согласно закону пропорциональности массы и энергии и гипотезе Планка, энергия фотона определяется формулой:

Фотоны имеют импульс: