Распределение Пуассона

PMF: exp(-λ) λⁿ/n!

Exсel: ПУАССОН(n;λ;0)

Matlab: poisspdf(n,λ)

CDF: Г(n + 1, λ)/n!,

где Г – неполная гамма-функция.

Exсel: ПУАССОН(n;λ;1)

Matlab: poisscdf(n,λ)

Среднее значение: λ

Стандартное отклонение: λ^½

Это распределение еще иногда называют законом редких событий. В трейдинге его (и более сложные случайные процессы, основанные на законе Пуассона) можно применять для моделирования микроструктуры рынка, а значит, оно потенциально может быть интересным для скальперов и высокочастотников. Допустим, трейдер собрал статистику количества сделок (тиков) в первый утренний час торговой сессии по какому-либо инструменту. Оказалось, что в среднем бывает 100 тиков. Какова вероятность, что количество сделок окажется не более 80? Для этого воспользуемся функцией CDF Excel или Matlab и получим ответ: 2.26%, т.е. весьма маленькая. Соответственно вероятность того, что будет более 80 тиков, составит: 100% - 2.26% = 97.74%.

Экспоненциальное распределение

PDF: λexp(-λt)

Exсel: ЭКСПРАСП(t;λ;0)

Matlab: exppdf(t,1/λ)

CDF: 1 - exp(-λt)

Exсel: ЭКСПРАСП(t;λ;1)

Matlab: expсdf(t,1/λ)

Среднее значение: 1/λ

Стандартное отклонение: 1/λ

Это, пожалуй, простейший непрерывный закон. Его можно использовать для моделирования неотрицательных случайных величин. Плотность вероятности экспоненциального распределения представляет собой убывающую кривую с пиком в нуле. Экспоненциальное распределение самым непосредственным образом связано с законом Пуассона. Если взять пример с количеством тиков, то экспоненциальное распределение будет моделировать промежутки времени между тиками. Так, при средней интенсивности 100 тиков в час типичный промежуток времени между сделками (среднее значение) в торговой системе составит 1/100 часа или 36 секунд. Какова вероятность, что время ожидания до следующей сделки не превысит 50 секунд? Сначала переведем секунды в доли часа, поскольку в качестве временного базиса мы использовали часы. В часе 3600 секунд, значит, 50 секунд – это примерно 0.0139 часа. Подставим эту цифру наряду с λ = 100 в формулу для CDF и получим 75.09%. Это означает, что с вероятностью 75.09% следующая сделка произойдет в течении 50 секунд, соответственно вероятность ожидания более 50 секунд составит 100% - 75.09% = 24.91%.

Равномерное распределение

PDF: 1/(b - a)

Matlab: unifpdf(x,a,b)

CDF: (x - a)/(b - a)

Matlab: unifcdf(x,a,b)

Среднее значение: (a + b)/2

Стандартное отклонение: (b - a)/12^½

Название говорит само за себя. Плотность вероятности этого распределения – горизонтальная прямая от a до b, поскольку все события равновероятны. Несмотря на свою простоту, это распределение является одним из важнейших. Так, если у нас есть генератор стандартной равномерно распределенной величины (Excel: СЛУЧМЕЖДУ(0;1)), при его помощи можно моделировать любые другие случайные величины. Для этого надо лишь пропустить сгенерированные случайные числа через квантильную функцию (обратная CDF) желаемого закона распределения. Если моделируя методом Монте-Карло, вы захотите использовать какое-то распределение, для которого у вас нет датчика случайных чисел, вы легко сможете использовать для этой цели стандартный датчик для равномерного распределения.