Важнейшие распределения математической статистики

Термин «статистика» используют, помимо прочего, для обозначения закона, которому подчинена случайная величина, или же для обозначения скалярной функции от наблюдаемых значений (близко к понятию точечной оценки, которое является не столь общим).

Распределением (статистикой) Пирсона, или -распределением, называют распределение суммы квадратов k независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону. При этом число слагаемых k называют числом степеней свободы распределения.

Рис. 3.1. Плотность -распределения

Распределением Стьюдента с k степенями свободы называется распределение частного , где числитель подчинен стандартному нормальному закону, а под корнем находится случайная величина, подчиненная распределению Пирсона с k степенями свободы.

Рис. 3.2. Плотность распределения Стьюдента

Распределением Фишера, или F-распределением с m и n степенями свободы называется распределение частного , в котором и – случайные величины, подчиненные -распределениям со степенями свободы m и n, соответственно.

Рис. 3.3. Плотность F-распределения

Основные задачи математической статистики

1. Задача определения закона распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным

 

Мы уже указывали, что закономерности, наблюдаемые в массовых случайных явлениях, проявляются тем точнее и отчетливее, чем больше объем статистического материала. При обработке обширных по своему объему статистических данных часто возникает вопрос об определении законов распределения тех или иных случайных величин. Теоретически при достаточном количестве опытов свойственные этим случайным величинам закономерности будут осуществляться сколь угодно точно. На практике нам всегда приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных; в связи с этим результаты  наших наблюдений и их обработки всегда содержат больший или меньший элемент случайности. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления относятся к постоянным, устойчивым и действительно присущи ему, а какие являются случайными и проявляются в данной серии наблюдений только за счет ограниченного объема экспериментальных данных. Естественно, к методике обработки экспериментальных данных следует предъявить такие требования, чтобы она, по возможности, сохраняла типичные, характерные черты наблюдаемого явления и отбрасывала все несущественное, второстепенное, связанное с недостаточным объемом опытного материала. В связи с этим возникает характерная для математической статистики задача сглаживания или выравнивания статистических данных, представления их в наиболее компактном виде с помощью простых аналитических зависимостей.

 

2. Задача проверки правдоподобия гипотез

 

Эта задача тесно связана с предыдущей; при решении такого рода задач мы обычно не располагаем настолько обширным статистическим материалом, чтобы выявляющиеся в нем статистические закономерности были в достаточной мере свободны от элементов случайности. Статистический материал может с большим или меньшим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы. Например, может возникнуть такой вопрос: согласуются ли результаты эксперимента с гипотезой о том, что данная случайная величина подчинена закону распределения  ? Другой подобный вопрос: указывает ли наблюденная в опыте тенденция к зависимости между двумя случайными величинами на наличие действительной объективной зависимости между ними или же она объясняется случайными причинами, связанными с недостаточным объемом наблюдений? Для решения подобных вопросов математическая статистика выработала ряд специальных приемов.