4)Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу крамера

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений                                                                                   (7)   Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера, рассмотренному выше для системы двух уравнений. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных . Назовем его определителем системы. Если D≠0, то система совместна. Далее составим три вспомогательных определителя: , , . Решение системы (7) находим по формулам: , , ,                               (8) которые называют формулами Крамера.

5)Векторы.Координаты векторов.Длина вектора.Линейные операции над векторами.

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

Длиной или модулем ненулевого вектора  называется длина отрезка . Длина нулевого вектора  равна нулю.

Чтобы вычислить координаты вектора , зная координаты (x₁; y₁) его начала A и координаты (x₂; y₂) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x₂ – x₁; y₂ – y₁).

ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ

Правило сложения векторов по правилу треугольников

векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор  от конца вектора :

Суммой векторов  и  является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов  представляет собой вектор результирующего пути  с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация:  (векторы сонаправлены) или  (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора  на число  является такой вектор , длина которого равна , причём векторы   и  сонаправлены при  и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка: