24)Действия над матрицами.Сложение матриц,умножение на число,произведение матрицы на вектор,произведение матриц.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4.Прозведение матрицы на вектор.

Это матрица,картинка не вставлялась! 375 умножить на 1 32

104 2 равно 13 т.е.

3

3*1 + 7*2 + 5*3 = 3+14+15 = 32,

1*1 + 0*2 + 4*3 = 1+0+12 = 13.

5.Произведение матриц.

Найти произведения матриц AB и BA, если

   и   

25.Обратная матрица.Два способа нахождения обратной матрицы.

Пример: Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .

Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор? А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы : Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: Готово.

 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

 – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Пример: Найти обратную матрицу для матрицы Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два». Обратную матрицу найдем по формуле: , где  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 1) Находим определитель матрицы. Здесь определитель раскрыт по первой строке. Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует. 2) Находим матрицу миноров . Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел. Я подробно рассмотрю парочку миноров: Рассмотрим следующий элемент матрицы: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два» Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить: Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров: Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже. Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках: Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно. Окончательный результат:  – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность. 3) Находим матрицу алгебраических дополнений . В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов: В данном случае:  – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 5) Ответ: