2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

Переходя к полной символике, имеем: 

Выражение (2.3.2) - обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть  0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

Из курса “Математика” известно, что

В курсе «УТС» будем называть решение однородного дифференциального уравнения , так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть , так как эта часть решения определяется внешним воздействием x(t), поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие. 

(2.3.4)

Напомним “этапы” решения:

1. Если имеется уравнение вида , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

2. Записываем характеристическое уравнение:

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на ЭВМ) находим корни характеристического уравнения . 

4) Тогда собственное решение записывается в виде:

(2.3.6)

если среди  _j нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет 2 (два) совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

(2.3.7)

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

(2.3.8)

5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:

а) По виду правой части.

б) Методом вариации постоянных.

в) Другие методы…

Если вид правой части дифф. уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а)… «подбор» решения…  .

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем: 



7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования .  Обычно получается система алгебраических уравнений.  Решая систему, находим значения постоянных интегрирования .

Пример: Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если 

Решение. Запишем однородное ОДУ   Характеристическое уравнение  ;  Решая, имеем:  

,

где С₁ и С₂ - неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем как:

Подставляя в исходное уравнение, имеем: 



Суммируя , имеем: 

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: а из 2-го начального условия имеем:

Решая систему линейных уравнений относительно С ₁ и С ₂ , имеем: ==> С ₁ = -1/6; C ₂ = -4/3.

Тогда окончательно:

()

На рис. 2.7 приведено сравнение аналитического решения по вышеприведенному соотношению (сплошная линия) и численного решения задачи (пунктирная линия) в среде программного комплекса «Моделирование в технических устройствах» (ПК «МВТУ»).

Рис. 2.7 – Сравнение аналитического и численного решений уравнения динамики