4. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей (док-во). Примеры.

События А, Б, В... называют зависимыми друг от друга, если вероятность появления хотя бы одного из них изменяется в зависимости от появления или непоявления других событий. Примером зависимых событий являются события, происходящие при отборе единиц из совокупности по схеме невозвращенного шара, когда от появления годного или бракованного изделия при первом испытании зависит вероятность появления годного изделия при втором испытании.

События называются независимыми, если вероятности появления каждого из них не зависят от появления или непоявления прочих из них..

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р (А) Р_A (В)

Доказательство

З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим Р (ВА) = Р (В) Рв (А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, -> Р(АВ) = Р (В) Рв (А)

Сравнивая формулы Р (АВ) = Р (А) Р_A (В) и Р(АВ) = Р (В) Рв (А), заключаем о справедливости равенства

Р (А) Ра (В) = Р (В) Рв (А)

С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где явл вероятностью события A_n, вычисленной в предположении, что события А₁,А₂,..., А_{n — 1} наступили. В частности, для трех событий Р (AВС) = Р (А) Р_A (В) Р_AB (С). Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считатьпервым, вторым и т. д.

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р (А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность Р_A (В) = 7 / 9.

По теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А) Р_A (В) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р (В) = 7 / 10, Р_B (А) = 3 / 9, Р (В) Р_B (А) = 7 / 30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (***).

5. Условная вероятность. Теорема о формуле полной вероятности, формулы Бейеса. Пример.

Условная вероятность события В (обознач Р_А(В)) - вероятность соб. В, найденная при условии, что произошло соб А. Р_А(В)=Р(АВ)\Р(А); аналогично для Р_В(А)=Р(АВ)\Р(В). Формула полной вер-ти. Теорема.

Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) А1,А2,…,Аn, образующих полную группу, то вер-ть соб F =сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вер-и события F.

По условию гипотезы А1,А2,…,Аn образуют полную группу, ->, они единственно возможные и несовместные. Т.к А1,А2,…,Аn - единственно возможные, а соб F может произойти только вместе с 1 из гипотез, то . В силу т\ч А1,А2,…,Аn несовместны, можно применить теорему сложения вер-ей:

По теореме умножения вер-ей .Следствием Т умножения и формулы полной вер-ти явл формула Байеса.

Формула Байеса: Пусть Н1, Н2 …— полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Нk, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

Д оказательство: По определению условной вероятности,

Пример: Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте: и .

Априорные вер-ти этих гипотез одинаковы: .

Рассмотрим событие . Известно, что

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень

Предположим, что событие произошло. Какова теперь апостериорная ( «после опыта») вероятность каждой из гипотез ? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в  раз). Действительно,