14. Понятие о законе больших чисел. Неравенство Чебышева (док-во).

З-н больших чисел – раздел теор вер-сти, в кот изуч-ся факторы, влияющие на измерение чисел →∞.

Нер-во Чебышева.

Для любой случ вел, имеющей мат ожидание и дисперсию, справедливо нер-во Чебышева: P(|X-M(X)|>ε)≤D(X)\ ε^2, где ε>0.

15. Теорема Чебышева (док-во). Центральная предельная теорема Ляпунова (без док-ва). Примеры.

Теор Чебышева.

Если дисперсии n независимых случ вел Х1, X2,..., Хn ограничены одной и той же постоянной, то при n→∞ средняя арифметическая случ вел-н сходится по вер-сти к средней

арифметической их мат ожиданий а1, а2,...,аn, т.е.:

Центральная предельная теор. представляет собой группу

теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный з-н р-я. Среди этих теорем

важнейшее место принадлежит теор Ляпунова.

16. Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность, выборка, выборочные характеристики. Методы отбора.

В практике статистических наблюдений различают 2 вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты совокупности, и несплошное, выборочное, когда изучается часть объектов. Вся подлежащая изучению совокупность объектов - генеральная совокупность. Та часть объектов, которая отобрана для изучения из генеральной совокупности - выборка.

17. Статистические оценки и их свойства: несмещенность, эффективность, и состоятельность. Примеры.

. Задача выборочного метода является оценка параметров ген совок-сти по данным выборки. Оценкой θn параметра θ называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной X, с помощью которой судят о значении параметра θ. Поскольку Х1, Х2,..., Хn - случ вел, то и оценка θn (в отличие от оцениваемого параметра θ - величины неслучайной) является случ вел, зависящей от з-на р-я X и числа n. Св-ва оценок: Оценка θn параметра θ наз-тся несмещенной, если ее мат ожидание равно оцениваемому параметру. В противном случае оценка наз-ся смещенной. Несмещенная оценка наз-тся эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема n.

18.

19.

_20. Точечные статистические оценки параметров распределения. Метод моментов. Примеры.

Метод моментов - определ-е кол-во выборочных моментов (начальных ν_k или центральных моментов μ_k, или тех и других) приравнивается к соответствующим теоретич-м моментам р-я сл вел X. ν_k=∑Xi^k *pi, μ_k=∑(Xi-M(X))^kpi.

21. Точечные статистические оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия для дискретного и непрерывного случаев. Примеры.

Метод max правдоподобия – выражает плоность вер-сти совместного появления результатов выборки х1, Х2,..., хn: L(x1, x2,…xi…xn; θ)=φ(x1,θ)*φ(x2,θ)…φ(xi,θ)…φ(xn, θ). Исследуем ф-я на max и min. Для этого исслед-ся ln (L(θ)). D lnL\dθ=0 – находим θ₀; d^2lnL\dθ – если <0 – то max, тогда θ= θ₀

22. Доверительные интервалы, доверительная вероятность. Построение доверительных интервалов для математического ожидания нормального распределения (с известной и неизвестной дисперсией).

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из некоторого распределения с плотностью распределения p(x; θ), зависящей от параметра θ. Задача состоит в том, чтобы построить для θ доверительный интервал.

Опр: Интервал называется доверительным, если с вероятностью (1-α) неизвестный параметр θ попадает в этот интервал. Тогда (1-α) — доверительная вероятность.

Доверит. интервал для a при известном параметре σ.

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), причем a неизвестно, а σ известно.

Построить доверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).

Для решения задачи воспользуемся следующим фактом.

Пусть X₁, X₂, X_n, — независимые случайные величины, распределение которых нормально с параметрами a и σ. Тогда случайная величина нормальна с параметрами a и . Для обоснования этого утверждения достаточно вычислить плотность распределения . Статистика имеет нормальное распределение с параметрами (0,1)(стандартное нормальное распределение). Пусть — квантиль порядка стандартного нормального распределения. Тогда , следовательно

. Таким образом статистики задаются равенствами , , и доверит. интервал для a построен.

Доверит. интервал для a при неизвестном параметре σ.

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), причем a и σ неизвестны.

Построить доверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).

,

Для решения воспользуемся теоремой: Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), Статистика имеет распределение Стьюдента с (n - 1) степенью свободы. (Без доказательства)

Построим, пользуясь этой теоремой, доверительный интервал для a. Для этого прежде всего заметим, что плотность вероятности распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы является четной и положительной функцией x. Поэтому, если — квантиль распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы порядка (то есть корень уравнения F(U) = , где F(U) — функция распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы), то , следовательно,

,

.

Итак, , , и задача решена

23.

24.