5 Вопрос. Условная вероятность. Теорема о формуле полной вероятности, формулы Байеса.

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, . . . , Bn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности

P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + . . . + P(Bn)PBn(A)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез, т.е. будем искать условные вероятности

PA(B1), PA(B2), . . . , PA(Bn).

Найдем сначала условную вероятность PA(B1). По теореме умножения

P(AB1) = P(A)PA(B1) = P(B1)PB1(A)

Отсюда PA(B1) = P(B1)PB1(A)P(A)

Заменив P(A) по формуле получим

PA(B1) =P(B1)PB1(A)P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + . . . + P(Bn)PBn(A)

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы Bi (i = 1, 2, . . . , n)может быть вычислена по формуле

PA(Bi) =P(Bi)PBi(A)P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + . . . + P(Bn)PBn(A)

Полученные формулы называют формулами Бейеса. Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие A.

6 вопрос. Понятие распределения вероятностей случайных событий. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Примеры.

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A. В разных независимых испытаниях событие A может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события A в каждом испытании одна и та же и равна p. Вероятность ненаступления события A в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 − p. Вычислим вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n − k раз. Отметим, что не требуется, чтобы событие A повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события A три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: AAAA, AAAA, AAAA,AAAA. Запись AAAA означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т. е. наступило противоположное событие A; соответственный смысл имеют и другие записи. Искомую вероятность обозначим Pn(k).

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит k раз и не наступит n − k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т. е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события A в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

Pn(k) =

Эта формула называется формулой Бернулли.