17. Статистические оценки и их свойства: несмещенность, эффективность и
состоятельность. Примеры.
. Статистическая оценка – любая функция от выборки. Свойства статистической оценки:
Несмещенность
Состоятельность
Эффективность
Теорема:
Оценки
и
–
несмещенные, а оценка
– состоятельная.
Доказательство:
Сначала
докажем несмещенность оценок. Нужно
проверить, что M
=a,
M
=σ
.
По определению имеем
M
=M
=
=a.
Далее,
M
=
,
где
Выполним тождественные преобразования:
=
=
=
Далее
воспользуемся тем, что MX
=
σ
+a
,
и при
M
(X
X
)=MX
·MX
(
случайные величины X
и
X
независимы)
=
σ
+a
)–
=(1–
)
σ
,
то
есть
M
=σ
.
Докажем состоятельность оценки . Для этого вычислим D :
D
=
→
0.
Если D и M → 0, то – состоятельная оценка параметра x.
18 Вопрос. Представление статистических данных. Полигон частот. Гистограмма. Примеры.
. Полигоном частот называется ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1, n1), (x2, n2), . . ., (xk, nk).Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им частоты ni. Точки (xi, ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот. Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1, ω1), (x2, nω2), . . ., (xk, ωk) Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты ωi. Точки (xi, ωi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот. В случае непрерывного признака строят гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h т.е. находят для каждого частичного интервала ni сумму частот вариант, попавших в i - й интервал.
Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni/h. (плотность частоты). Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni/h. Площадь i - го частичного прямоугольника равна hni/h= ni сумме частот вариант i - гo интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки. Определение. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ωi/h. (плотность относительной частоты). Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ωi/h. Площадь i - го частичного прямоугольника равна hωi/h= ωi - относительной частоте вариант, попавших в i - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части.
Сюда относятся:90 Оглавление
а) простой случайный бесповторный отбор;
б) простой случайный повторный отбор.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части.
Сюда относятся:
а) типический отбор;
б) механический отбор;
в) серийный отбор.