5. Действия над матрицами. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Действия над матрицами:

• равенство матриц (две матрицы одного порядка равны между собой, если равны их соответствующие элементы);

• сложение матриц (суммой матриц одинаковой размерности называется матрица, где a_ik + b_ik);

• умножение на число (произведением матрицы на число  называется матрица, где  • a_ik);

• умножение матриц (производится по принципу «строка на столбец», причем АВ ≠ ВА);

• умножение матрицы на столбец (порождает новый столбец по правилу «строка на столбец»);

Решение СЛАУ вида , которые в матричной форме записываются как , где - основная матрица системы , - матрица – столбец неизвестных переменных, -матрица свободных членов.

6. Линейные действия над вектором. Определение коллинеарности и компланарности векторов.

Линейные действия над векторами:

• сложение векторов: (а + в) + с = а + (в + с);

• вычитание векторов: а – в = а + (-в);

• умножение вектора на число: а (вс) = (ав) с и а (в + с) = ав + ас.

Коллинеарный вектор – вектор, расположенный на параллельных прямых. Чтобы вектор а был коллинеарен вектору в нужно число к, удовлетворяющее условию а = кв.

Компланарный вектор – вектор, расположенный в параллельных плоскостях.

7. Исследование линейной зависимости векторов на плоскости и в пространстве.

Исследование линейной зависимости векторов:

• два коллинеарных вектора смещаются на одну прямую и всегда линейно зависимы, т.к. условие коллинеарности а = кв есть условие линейной зависимости а – кв = 0;

• два неколлинеарных вектора смещаются на одну плоскость и всегда линейно независимы (иначе они были бы коллинеарны);

• три компланарных вектора смещаются на одну плоскость и всегда линейно зависимы;

теорема: любой вектор m на плоскости можно представить в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов а и в:

m = ха + ув

• три некомпланарных вектора в пространстве всегда линейно зависимы (иначе они были бы компланарными);

• любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

теорема: любой вектор m в пространстве можно представить в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов а, в, с:

m = ха + ув + zc.

8. Определение базиса векторов и координат вектора. Прямоугольная система координат.

Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора  , взятые в определённом порядке (рис.1.32). Эти векторы  называются базисными.

Координатами вектора называются коэффициенты его разложения по базисным векторам.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве..

9. Проекция вектора на ось. Координаты точки и вектора в прямоугольной системе.

Проекцией вектора   на ось   называется длина отрезка  , взятая со знаком "+", если направление   совпадает с направлением вектора  , и со знаком "-", если направление  противоположно направлению единичного вектора оси   

Каждой точке трехмерного пространства в заданной декартовой системе координат соответствует упорядоченная тройка действительных чисел  , называемых координатами точки M, числа   и   называют абсциссой, ординатой и аппликатой точки М соответственно.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки   разлагается по координатным векторам   как  , следовательно,  .