Элементы теории множеств. Опр.Функции в теории множеств.
Элементы теории множеств
Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b,c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:
N - множество всех натуральных чисел; Z - множество всех целых чисел; Q - множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел; C - множество всех комплексных чисел; Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.
Запись 
(или 
)
означает, что элемент a принадлежит
множеству A.
Запись 
(или 
)
означает, что элемент a не
принадлежит множеству A.
Множество B,
все элементы которого принадлежат
множеству A,
называется подмножеством множества A,
и при этом записывают 
(или 
)
(см. рис. 1).
Всегда 
,
так как каждый элемент множества,
естественно, принадлежит A.
Пустое множество, т. е. множество, не
содержащее ни одного элемента, обозначим
символом 
.
Любое множество содержит пустое множество
в качестве своего подмножества.
Если 
,
то A и B называются равными
множествами,
при этом записывают A = B.
Если 
,
то множество элементов множества 
,
не принадлежащих A,
называется дополнением множества A к
множеству
(см.
рис. 2).
Дополнение
множества A к
множеству
обозначают
символом 
;
или просто CA,
если известно, к какому множеству берется
дополнение. Таким образом,
Если 
,
то иногда дополнение множества B к
множеству A называют разностью множеств A и B и
обозначают A\B (см.
рис. 3), т. е.
Пусть A и B - подмножества множества .
Объединением множеств A и B называется множество (см. рис. 4)
Аналогично,
если 
,
подмножества множества
,
то их объединением будет множество
Пересечением подмножеств A и B называется множество (см. рис. 5)
Функция у = f(х) на множестве Х – правило соответствия между этими множествами, при котором для каждого х Х существует единственный элемент у У.
Между множествами Х и У установлено соответствие (Х У), если для любого х Х указаны соответствующие ему у У.
Соответствие между Х и У взаимно-однозначно, если для любого х Х существует единственный элемент у У и наоборот.
Два множества Х и У эквивалентны, если между ними можно установить взаимно-однозначное значение.
Способы задания функции, явная форма функции, обратная ,четная , нечетная, периодическая функция.
Основные способы задания функций:
табличный способ;
аналитический способ (у = f(х), у = х2);
графический способ.
Функция имеет явную форму у = f(х), если зависимая переменная стоит слева в первой степени и неявную форму, если х и у связаны более сложным образом. Пример: у = х2, у2 + х2 = R2.
Обратная функция х = f-1(у) получается из прямой функции у = f(х), если в качестве аргумента взять у.
Пример: у = х2 – прямая, х = у – обратная.
Функция четная, если смена знака аргумента не меняет значение функции f(-х) = f(х) и нечетная, если смена знака аргумента меняет общий знак функции f(-х) = -f(х).
Функция периодическая, если при изменении аргумента на постоянную величину значение функции не меняется f(х + а) = f(х). Наименьшее значение а называется периодом.
Пример: Sin(x + 2) = Sin(x).