1. 3. Ускорение. Тангенциальное, нормальное и полное ускорение

В общем случае, при движении материальной точки по криволинейной траектории вектор скорости может меняться по величине и направлению. Пусть за малый промежуток времени точка переместилась из положения А в положение В и при этом скорость ее изменилась от до .Перенесем вектор скорости в точку В методом параллельного переноса, тогда – изменение вектора скорости за время движения тела из А в В.

Векторная величина, равная пределу, к которому стремится отношение при неограниченном уменьшении промежутка времени называется ускорением. Вектор ускорения равен первой производной вектора скорости по времени:

Как всякий вектор, ускорение можно представить в виде суммы проекций на оси (x, y, z):

Модуль вектора ускорения

Единица измерения ускорения – [м/c²].Вектор ускорения сонаправлен с вектором изменения скорости .Пусть за время скорость материальной точки изменилась по величине и по направлению. Тогда вектор изменения скорости можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых характеризует изменение скорости по направлению, другой – изменение скорости по величине.

В этом случае вектор ускорения также можно представить в виде суммы двух векторов ( и ) где – нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по направлению, а – тангенциальное ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по величине.

Тангенциальное ускорение удобно рассмотреть на примере неравномерного прямолинейного движения.При этом скорость изменяется только по величине , поэтому : т. е.

В векторной форме , где – единичный вектор, сонаправленный с вектором скорости.

Нормальное ускорение удобно рассмотреть на примере равномерного движения по окружности. При этом .

Перенесем вектор скорости из точки А в точку В методом параллельного переноса

Если время перемещения точки из А в В мало, то малый угол поворота радиуса-вектора точки может быть записан следующим образом: ,где АВ – длина дуги окружности радиуса R, – угол в радианах. Тогда ,

т. е.

.

В векторной форме: где – единичный вектор, направленный по радиусу к центру кривизны траектории в данной точке, т.е. перпендикулярно вектору скорости (рис. 1.8).

Таким образом, вектор полного ускорения материальной точки равен

а модуль вектора полного ускорения :

На рис. показано направление векторов при ускоренном и замедленном движении. Модуль вектора тангенциального ускорения положителен при ускоренном движении (рис. 1.9, а) и отрицателен при замедленном движении (рис. 1.9, б). Модуль вектора нормального ускорения всегда положителен.

3) Ньютон дал более общую формулировку закону инерции как первому закону движения: всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на него силы не изменят это состояние.

В жизни этот закон описывает случай когда, если перестать тянуть или толкать движущееся тело, то оно останавливается, а не продолжает двигаться с постоянной скоростью. Так автомобиль с выключенным двигателем останавливается. По закону Ньютона на катящийся по инерции автомобиль должна действовать тормозящая сила, которой на практике является сопротивление воздуха и трение автомобильных шин о поверхность шоссе. Они-то и сообщают автомобилю отрицательное ускорение до тех пор, пока он не остановиться.

Недостатком данной формулировки закона является то, что в ней не содержалось указания на необходимость отнесения движения к инерциальной системе координат. Дело в том, что Ньютон не пользовался понятием инерциальной системы координат, – вместо этого он вводил понятие абсолютного пространства – однородного и неподвижного, – с которым и связывал некую абсолютную систему координат, относительно которой и определялась скорость тела. Когда бессодержательность абсолютного пространства как абсолютной системы отсчета была выявлена, закон инерции стал формулироваться иначе: относительно инерциальной системы координат свободное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Второй закон Ньютона

В формулировке второго закона Ньютон ввел понятия:

- ускорение – векторная величина (Ньютон называл его количеством движения и учитывал при формулировании правила параллелограмма скоростей), определяющая быстроту изменения скорости движения тела.

- сила – векторная величина, понимаемая как мера механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате воздействия которой тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

- масса тела – физическая величина – одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства.

Второй закон механики гласит: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. Такова его современная формулировка. Ньютон сформулировал его иначе:

На опыте этот закон легко подтвердить, если к концу пружины прикрепить тележку и отпустить пружину, то за время t тележка пройдет путь s1 (рис. 1), затем к той же самой пружине прикрепить две тележки, т.е. увеличить массу тела в два раза, и отпустить пружину, то за то же время t они пройдут путь s2, в два раза меньший, чем s₁.

Этот закон также справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон с математической точки зрения представляет собой частный случай второго закона, потому что, если равнодействующие силы равны нулю, то и ускорение также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон, т.к. именно он утверждает о существовании инерциальных систем.

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона гласит: действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению или математически:

Ньютон распространил действие этого закона на случай и столкновения тел, и на случай их взаимного притяжения. Простейшей демонстрацией этого закона может служить тело, расположенное на горизонтальной плоскости, на которое действуют сила тяжести Fт и сила реакции опоры Fо, лежащие на одной прямой, равные по значению и противоположно направленные, равенство этих сил позволяет телу находиться в состоянии покоя (рис. 2).

Массу - мера материи и величина ее определяет количество материи в теле. Количество материи доступно измерению, будучи пропорциональным весу тела. Вес – это сила, с которой тело действует на опору, препятствующую его свободному падению. Числено вес равен произведению массы тела на ускорение силы тяжести.

Первый и второй законы механики относятся соответственно к движению материальной точки или одного тела. При этом учитывается лишь действие других тел на данное тело. Однако всякое действие есть взаимодействие. Поскольку в механике действие характеризуется силой, то если одно тело действует на другое с определенной силой, то второе действует на первое с той же силой, что и фиксирует третий закон механики. В формулировке Ньютона третий закон механики справедлив лишь для случая непосредственного взаимодействия сил или при мгновенной передаче действия одного тела на другое. В случае передачи действия за конечный промежуток времени данный закон применяется тогда, когда временем передачи действия можно пренебречь.