­Оно является основном уравнением динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.

17) Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω

и угловое ускорение ε

В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Рисунок 1.23.1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора линейного перемещения некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением:

Δs = rΔφ,

где r – модуль радиус-вектора (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей:

υ = rω,

и между модулями линейного и углового ускорения:

a = aτ = rε.

Векторы и направлены по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δm_i. Расстояния до оси вращения обозначим через r_i, модули линейных скоростей – через υ_i. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м²). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ – угловая скорость ω.

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение x_C, y_C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m₁ и m₂, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x₁, y₁ и x₂, y₂ (рис. 1.23.2), определяется выражениями:

Рисунок 1.23.2. Центр масс C системы из двух частиц

В векторной форме это соотношение принимает вид:

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор центра масс определяется выражением

Для сплошного тела суммы в выражении для заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия. Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 1.23.3).

Рисунок 1.23.3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия (см. §1.14).

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка. Такое движение называется плоским.

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:

где m – полная масса тела, I_C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 1.23.4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью  и вращения с угловой скоростью относительно оси O, проходящей через центр масс

В механике доказывается теорема о движении центра масс: под действием внешних сил центр масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 1.23.5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр масс тела движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

Рисунок 1.23.5. Движение твердого тела под действием силы тяжести

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции I_C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 1.23.6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рис. 1.23.6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Δm_i – некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

Выражение для I_P можно переписать в виде:

Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно,

IP = IC + md2,

где m – полная масса тела. Этот результат называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).