12. Абсолютно твердое тело. Момент инерции. Теорема Штейнера.

Абсолютно твердым телом* называется материальное тело, в котором рас­стояния между точками остаются неизменными неза­висимо от действующих сил.

  Момент инерции материальной точки равен

   Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

Момент инерции тела в случае непрерывного распределения массы равен

Теорема Штейнера: момент инерции тела  относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела  относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела  на квадрат расстояния  между осями:

13. Кинетическая энергия вращения. Плоское движение твердых тел.

П ри вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mi опишут окружность различных радиусов ri и будут иметь различные линейные скорости vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова.

Кинетическую энергию вращающе-гося тела найдем как сумму кинетиче-

ских энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получим

где Jz — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где т — масса катящегося тела; vc — скорость центра масс тела; Jc— момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ш -- угловая скорость тела.

14. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина М, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку

Л приложения силы, на силу F

где М— псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к F.

Модуль момента силы

где а — угол между г и F; r sin а = l —

кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо

силы. Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина М,, равная проекции на эту ось вектора Л/момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z. Значение момента М, не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

Уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.