Системы линейных алгебраических уравнений

Определение 2.17. Система линейных уравнений вида

(1) , где , поле, называется системой m линейных уравнений с n неизвестными над полем Р, - коэффициенты при неизвестных, - свободные члены системы (1), , .

Определение 2.18. Упорядоченная n-ка ( ), где , называется решением системы линейных уравнений (1), если при замене переменной на каждое уравнение системы (1) превращается в верное числовое равенство.

Определение 2.19. Система линейных уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система (1) называется несовместной.

Определение 2.20. Система линейных уравнений (1) называется определенной, если она имеет единственное решение. В противном случае система (1) называется неопределенной.

Определение 2.21. Система линейных уравнений над полем Р называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. В противном случае система называется неоднородной.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как всегда имеет решение .

Однородная система вида называется однородной системой, ассоциированной с системой (1).

Для каждой системы линейных уравнений можно ввести в рассмотрение две матрицы - основную и расширенную.

Определение 2.22. Основной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, т.е. матрица следующего вида: .

Определение 2.23. Расширенной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица , полученная из матрицы путем присоединения к ней столбца свободных членов:

.

Определение 2.24. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие:

1. умножение обеих частей некоторого уравнения системы на элемент ;

2. прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на элемент ;

3. добавление или отбрасывание уравнения вида .

Определение 2.25. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1. умножение всех элементов некоторой строки матрицы на элемент ;

2. прибавление к элементам некоторой строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на ;

3. добавление или отбрасывание нулевой строки.

Определение 2.26. Две системы линейных уравнений над полем Р относительно переменных называются равносильными, если их множества решений совпадают.

Теорема 2.4. Если одна система линейных уравнений получена из другой с помощью элементарных преобразований, то такие системы равносильны.

Теорема 2.5 (правило Крамера).

Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А= - основная матрица системы (1), = . Если , то система (1) имеет единственное решение: , , …, ,

где - определитель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов, i= , т.е.

= , … , = .

Теорема 2.6 (теорема Кронекера-Капелли).

Пусть (1) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, A и - соответственно основная и расширенная матрицы системы (1). Система (1) является совместной тогда и только тогда, когда r(A)=r( ), причём, если r=n (где r=r(A)), то система (1) определена, а если r<n, то система (1) неопределена.

Замечание 2.1. Рангом матрицы A называется ранг r(A) её системы векторов-строк (см. определение 2.32). Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения ее к ступенчатому виду.