Решение:

а) Решим систему (1) по правилу Крамера (см. стр. 44, теорема 2.5). Для этого выпишем основную матрицу системы (1) (см. стр. 43, определение 2.22) и вычислим ее определитель:

;

Согласно теореме 2.5, система (1) имеет единственное решение:

, , (2),

где - определитель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов, i= . Найдем , , :

Тогда, ввиду (2), получаем , , .

б) Решим систему линейных уравнений (1) матричным способом. Для этого составим матричное уравнение А∙Х=В (3), где А – основная матрица системы (см. пункт а)); В – матрица, состоящая из столбца свободных членов, т.е. ; . Система линейных уравнений (1) и матричное уравнение (3) являются равносильными. Действительно, А∙Х=В ⇔

∙ = ⇔ = ⇔ .

Решим уравнение (3). Для этого вычислим матрицу А^-1 (см. решение задания 3):

Тогда А^-1 = , и значит,

.

Следовательно, , , .

Ответ: (2,-1,-3).

Задание 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

. (1)

Решение:

Воспользуемся алгоритмом решения систем линейных уравнений методом Гаусса (см. стр. 45). Для этого составим расширенную матрицу системы (1) и приведем ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

∿

∿ ∿

∿ .

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы системы (1) равен 3 (число ненулевых строк в матрице после приведения ее к ступенчатому виду) и равен рангу основной матрицы системы (матрицы из коэффициентов при неизвестных). Поэтому, согласно теореме Кронекера-Капелли (см. стр 44, теорема 2.6), система (1) является совместной. Так как ранг расширенной матрицы не равен числу неизвестных, то система (1) является неопределенной. Запишем систему линейных уравнений, соответствующую ступенчатой матрице:

(2) .

Отметим, что, согласно теореме 2.4 (см. стр. 44), системы (1) и (2) являются равносильными, т.е. множества их решений совпадают. В системе (2) неизвестные являются главными, а - свободная неизвестная. Найдем общее решение системы (2), а значит, и системы (1):

,

т.е. общее решение системы (1) имеет вид

ℝ.

Придавая произвольные значения, можно получить частные решения системы (1). Например, или .