Общее определение вероятностного пространства

Определение 3. Алгебра F называется -алгеброй, если из того, что при всех k=1,2,3,..., следует, что .

Определение 4. Вероятностным пространством называется тройка , где – произвольное множество, F – -алгебра подмножеств множества , P – функция, определенная на F и удовлетворяющая следующим условиям:

1. (Аксиома положительности). Для любого , то есть вероятность любого события неотрицательна.

2. (Аксиома нормировки). , то есть вероятность достоверного события равна единице.

3. (Аксиома -аддитивности). Если содержащаяся в F последовательность событий такова, что при всех , то

Определение 5. События A и B называются несовместными, если вероятность их произведения равна нулю, то есть если .

Свойства вероятности

1. .

2. .

Следствие. Для любых событий A и B . Если события A и B несовместны, то справедлива формула: .

3. Если из события A следует событие B (то есть если ), то .

Теоретические упражнения. 1) Доказать, что

.

2) Вывести формулу для .

3) Доказать, что .

Независимые события и условные вероятности

Определение 6. События A и B на вероятностном пространстве называются независимыми, если

.

События того же вероятностного пространства называются независимыми в совокупности (соответственно, попарно независимыми), если для любого конечного набора натуральных чисел (соотв., для двух любых натуральных чисел ) выполняется равенство (соотв., ).

Определение 7. Пусть A – фиксированное событие из -алгебры F , такое, что . Для любого определим новую функцию:

.

Эта функция называется условной вероятностью события B при условии, что событие A осуществилось (или просто при условии A).

Иногда целесообразно пользоваться следующим обозначением: .

Теоретические упражнения. 1) Доказать, что для тройки выполняются все аксиомы вероятностного пространства Эта тройка называется условным вероятностным пространством.

2)С помощью метода математической индукции доказать формулу:

.

Свойства независимости событий:

1. Достоверное событие и невозможное событие независимы ни от какого другого события.

2. Несовместные события положительной вероятности зависимы.

3. Пусть . События A и B независимы тогда и только тогда, когда .

Формулы полной вероятности. Формулы Байеса

Определение 8. Совокупность событий положительной вероятности на называется полной группой гипотез, если:

1) события попарно несовместны;

2) .

Теорема. (формула полной вероятности). Если – полная группа гипотез на , то вероятность любого события можно вычислить по формуле:

.

Представим теперь себе ситуацию, что событие A осуществилось. Это обстоятельство позволяет пересмотреть вероятности исходных гипотез , то есть вычислить так называемые апостериорные вероятности гипотез (в отличие от априорных вероятностей, которые получаются до реализации какого-либо события). Речь идет об условных вероятностях .

Теорема. (формула Байеса). Для любого справедлива формула:

.