Случайные величины на конечных вероятностных пространствах

Определение 9. Конечным вероятностным пространством называется такое вероятностное пространство , у которого пространство элементарных событий  состоит из конечного числа элементов, а -алгебра F представляет собой совокупность всех подмножеств множества .

Определение 10. Пусть дано конечное вероятностное пространство . Числовая функция , определенная на пространстве элементарных событий , называется случайной величиной (с.в.) на .

Для обозначения случайных величин мы, в основном, применяем большие латинские буквы и т.д., но иногда будем использовать и малые греческие буквы.

Определение 11. Пусть A – событие из -алгебры F. Индикатором события A называется случайная величина , заданная формулой:

Свойства индикаторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) если , то .

Лемма (о представлении с.в. через индикаторы). Пусть – с.в. на конечном вероятностном пространстве и – всевозможные значения этой с.в. Пусть событие состоит из всех , для которых , , то есть . Тогда:

.

Закон распределения случайной величины в случае конечного вероятностного пространства

Определение 12. Пусть – с.в. на конечном вероятностном пространстве и – всевозможные значения этой с.в. Законом распределения данной с.в. называется таблица

				...
				...		,

где нижний ряд состоит из чисел , равных вероятностям принятия случайной величиной значений , то есть , причем .

Закон распределения индикатора имеет вид:

			0	1
		P			.
							

Пример С.в. , равная числу успехов в серии из n независимых испытаний имеет следующий закон распределения:

		0	1	2	...	n
	P				...		.

Этот закон распределения называется биномиальным.

Математическое ожидание случайной величины в случае конечного вероятностного пространства

Определение 13. Математическим ожиданием с.в. , определенной на конечном вероятностном пространстве , называется число

,

где при суммировании пробегает все пространство элементарных событий , а есть вероятность элементарного события .

Если перенумеровать все элементарные события из , то есть записать , то математическое ожидание запишется в виде:

.