Общие свойства интеграла
Линейность
а)
- допустимое множество
является линейным пространством (в силу
критерия Лебега и того, что объединение
множеств меры ноль есть множество меры
ноль)
б)
интеграл – линейный функционал на
.
Замечание:
2. Аддитивность
а) Если
- допустимые множества и
,
тогда
т.е.
б) если кроме того
,
то
Док-во:
3.Оценка интеграла
а)
- допустимое,
.
Утв.:
- допустимое множество,
на
почти всюду
.
Следствие 1.
почти для всех
.
Следствие 2.
почти для всех
Следствие 3.
Следствие 4.
- связное множество,
Следствие 5.
Лемма:
на
почти всюду,
- допустимое,
на
почти всюду.
Док-во:
рассмотрим промежуток
непрерывна почти всюду на
,
покажем что
,
где
- точки непрерывности функции
.
Предположим противное:
,
-точки
непрерывности
- противоречие. Далее переходим к
через характеристическую функцию.
Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини.
Th.: Теорема Фубини.
Если:
-
-мерный
интервал
-
-мерный
интервал
То:
Док-во:
Строим разбиение интервалов
,
выбираем отмеченные точки
.
для почти всех
для почти всех
Если этой функции не существует, то можно выбрать любое значение из промежутка между верхней и нижней суммой.
Следствие 1:
почти для всех
Следствие 2:
Следствие 3:
Если:
То:
Док-во:
Следствие 4:
Если: в условиях Следствия 3 множество
измеримо по Жордану, а функции
непрерывны,
То: граница множества
имеет меру ноль, множество
измеримо по Жордану:
Замена переменных в кратном интеграле. Формула Грина.
Опр.:
- гладкие функции
- параметризованная кривая
Если - замкнутая кривая (контур), то:
- прохождение контура против часовой
стрелки (положительная ориентация)
- прохождение контура по часовой стрелке
(отрицательная ориентация)
Опр.:
.
Опр.:
Область
называется элементарной, если:
Лемма: Формула Грина.
Если: - элементарная область
- кусочно гладкая,
,
То:
Док-во:
Замечание:
В силу аддитивности формула Грина справедлива и для областей, которые можно разбить на конечное число элементарных.
Замена переменных (двумерный случай).
Утв.:
Если:
- диффеоморфизм,
,
,
- элементарная область
- положительно ориентированная граница
,
То:
Док-во:
По нашим предположениям оба интеграла существуют как интегралы от непрерывных функций по измеримым множествам.
Следствие:
Если якобиан положительный (отрицательный), то отображение сохраняет (меняет) ориентацию контура.
Геометрический смысл модуля якобиана отображения.
Утв.:
Если:
,
То:
Док-во:
Т.о. модуль якобиана отображения – коэффициент изменения площади области.
Th.:
Если:
То:
,
.
Пример 1:
Полярные координаты.
Пример 2:
Цилиндрические координаты.
Пример 3:
Сферические координаты.
