Общая формула Стокса

Если: - ориентированная кусочно-гладкая -мерная компактная поверхность с краем ,

в задана гладкая -форма , ориентация согласована с ориентацией ,

То:

Док-во слишком здоровенное, мне лень его набивать, да и требуют его только на «5» у самых отъявленных ботаников.

Замечание:

Если поверхность является кусочно-гладкой, т.е. состоит из гладких кусков размерности не выше , причём ориентация кусков согласована, то общая их часть проходится в разных направлениях, и таким образом интеграл по общей части =0.

Элементы векторного анализа Дифференциальные операции векторного анализа.

1. Скалярные и векторные поля.

Опр.:

1) - скалярное поле

2) - векторное поле

3) - поле форм

2. Связь между векторными полями и формами в

Утв.:

Если: - ориентированное евклидово пространство, - векторные поля,

То: полю соответствует линейная (билинейная) форма.

Док-во:

Утв.:

Задание в области ориентированного евклидова пространства дифференциальной формы эквивалентно заданию в этой области векторных полей и .

Док-во:

Замечание: в случае скалярного поля:

3. Дифференциальные операторы градиент, ротор и дифергенция.

Опр.:

Внешнему дифференцированию 0,1,2 – форм в ориентированном евклидовом пространстве отвечают операции нахождения градиента скалярного поля и нахождения ротора и дивергенции векторных полей, определённых соотношениями:

Запись в декартовых координатах

1.

2.

3.

Формула Ньютона-Лейбница

Если:

То:

Формула Стокса

Если:

- векторное поле

- замкнутый контур

То:

где

Циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность, натянутую на данный контур.

Формула Остроградского-Гаусса

Если: - компактная ориентированная область ориентированного евклидова пространства , - край ,

- гладкое поле в

То:

Поток векторного поля через границу области равен интегралу от дивергенции этого поля по самой области.

Геометрическая интерпретация ротора и дивергенции.

Дивергенция:

Если: - область задания поля

- диаметр

То:

а)

б)

в)

Физический смысл: дивергенция поля - средняя плотность распределения источников в области .

Ротор:

Если: - гладкое векторное поле,

- круг с центром в точке ,

- диаметр круга,

- единичная нормаль к плоскости круга.

То:

Физический смысл: ротор определяет мгновенную ось вращения угловую скорость и направление вращения.

Потенциальные поля

Опр.:

1. - векторное поле в

называется потенциалом поля в , если

2. Поле, имеющее потенциал, называется потенциальным.

Необходимое условие потенциальности:

Утв.:

Док-во:

Утв.:

Док-во:

Утв.:

Замечание: Необходимое условие не является достаточным.

Пример:

Критерий потенциальности:

Непрерывное векторное поле потенциально в области (циркуляция поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю)

Док-во:

Топологическая структура области и потенциал:

Область называется односвязной, если замкнутого контура кусочно-гладкая ориентированная поверхность .

Утв.:

Если: - односвязная область, - непрерывное векторное поле в .

То: Необходимое условие потенциальности является достаточным.

Док-во: