35. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых прямоугольных координатах. Две основные задачи для материальной точки
36. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника. maτ=∑Fin υ2\ρ=ρ∑Fin 0=∑Fib
Проекция на 3. на Mτnb: m*dv/dt=ΣFkτ, m*dv/dt=ΣFkn, m*dv/dt=ΣFkb
37. Относительное движение материальной точки. Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Переносная и кориолисова силы инерции. Частные случаи относительного движения точки.
Динамика относительного движения материальной точки
|
|||||||||||
Второй закон динамики и полученные на его основе уравнения и теоремы верны только для так называемого абсолютного движения точки, то есть движения по отношению к инерциальной (неподвижной) системе отсчета.
Изучим
движение материальной точки относительно
неинерциальной системы отсчета, то
есть подвижной системы отсчета.
Рассмотрим материальную точку
Движение точки относительно системы называется абсолютным, а движение этой точки относительно системы - относительным. Движение подвижной системы относительно неподвижной системы называется переносным движением.
Считая,
что переносное движение системы
и
система сил
где Из кинематики известно, что
где
Подставляя
это значение
Введем
два вектора Подставим эти векторы в уравнение (2)
Уравнение (3) представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки. Сопоставив (1) и (3) заключаем: в случае непоступательного переносного движения относительное движение материальной точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам присоединить переносную и кориолисову силы инерции. Это сопоставление показывает также, что в инерциальной системе отсчета ускорение точки является лишь результатом действия на нее сил, в то время как в неинерциальной системе ускорение является как результатом действия на нее сил, так и результатом движения самой системы отсчета. Спроектировав (3) на оси подвижной системы отсчета , получим дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
|
,
движущуюся под действием приложенных
к ней сил 
,
являющихся результатом взаимодействия
точки с другими телами. Будем изучать
движение этой точки по отношению к
осям 
,
которые в свою очередь каким-то
известным нам образом движутся
относительно инерциальной системы
отсчета (неподвижных осей) 
(рис.1).
известны,
основное уравнение динамики для
абсолютного движения точки
запишется
в виде
-
абсолютное ускорение точки
,
а 
-
геометрическая сумма приложенных к
точке сил.
-
соответственно относительное,
переносное и кориолисово ускорения
точки
.
в
равенство (1) получим
,
численно равные 
и 
и
направленные противоположно
ускорениям 
и 
.
Эти векторы назовем переносной и
кориолисовой силами инерции.
,
,
В предыдущем параграфе показано было как определяется движение точки относительно неподвижной системы отсчета, абсолютное движение. Нередко приходится исследовать движение материальной точки относительно системы, которая сама движется и довольно сложным образом.
Точка М
(рис.10)
под действием некоторых сил 
совершает
сложное движение. Абсолютное определяется
координатами x, y, z,
относительное – координатами x1, y1, z1.
Рис.10
Составим
основное уравнение динамики для точки 
,
где абсолютное ускорение 
.
Поэтому уравнение будет таким 
или 
.
|
Но 
-
переносная сила инерции, 
-
кориолисова сила инерции. Поэтому
основное уравнение динамики для
относительного движения запишем так
. (7)
Спроектировав это векторное равенство на подвижные оси x1, y1, z1, имея в виду, что проекции вектора ускорения на оси – есть вторые производные от соответствующих координат по времени, получим дифференциальные уравнения относительного движения
(8)
Сравнивая эти уравнения с дифференциальными уравнениями абсолютного движения, замечаем, что относительное движение материальной точки определяется такими же методами, что и абсолютное, надо лишь кроме обычных сил учесть переносную силу инерции и кориолисову силу инерции.
Если
переносное движение поступательное,
равномерное и прямолинейное, т.е.
подвижная система инерциальная, то
ускорение 
и 
.
Значит 
и
дифференциальное уравнение (8) будет
точно совпадать с дифференциальным
уравнением абсолютного движения.
Следовательно, движение точки во всех
инерциальных системах описывается
аналогичными законами (отличаются
только постоянными интегрирования,
зависящими от начальных условий).
Поэтому невозможно установить, наблюдая за движением точки, движется система поступательно, равномерно и прямолинейно или находится в покое. Этот вывод впервые был сделан Г.Галилеем и называется его именем – принцип относительности Галилея.