13.3. Властивості векторних полів
13.3.1. Соленоїдальність, потенціальність та безвихорність.
Векторне поле ā(М) називається соленоїдальним в області D,якщо у будь-якій точці цієї області дивергенція векторного поля дорівнює 0, тобто якщо divā(M)=0
Якщо в деякій області D поле ā(М) соленоїдальне, то в цій області відсутні джерела поля.
Векторне поле ā(М) називається потенціальним в області D, якщо існує така скалярна функція, що вектор ā(М) можна представити у вигляді градієнта цієї функції. Якщо цю скалярну функцію позначити через (-U(М)), знак мінус обирають із фізичних міркувань, то ā(М)= -gradU(M), MєD
Функція U(М) називається потенціалом векторного поля ā(М). Потенціал векторного поля ā(М) визначають з точністю до сталої С, оскільки grad(U+С)= grad(U).
Ця властивість дозволяє зробити потенціал рівним 0 у будь-якій заданій точці. Найчастіше значення потенціалу приймається рівним нулю на ∞. Відмітимо, що різниця значень потенціалу у двох точках вже не залежить від сталої С, оскільки в різниці сталі взаємно знищуються.
Векторне поле ā(М) може бути заданим за допомогою трьох скалярних функцій, які є проекціями вектора ā(М) на декартовій осі координат. Якщо векторне поле ā(М) потенціальне, то його можна задати однією скалярною функцією - потенціалом цього поля. Криволінійний інтеграл по дузі АВ потенціального поля не залежить від шляху інтегрування.
Векторне поле ā(М) називається безвихорним в області D, якщо у будь-якій точці цієї області вихор векторного поля дорівнює 0, тобто rotā(M)=0, MєD
Поняття безвихорності та потенціальності поля є еквівалентними. Дійсно, якщо поле ā(М) є потенціальним, то rotā(М) = -rot gradU(М) = 0, тобто поле ā(М) буде і безвихорним. Навпаки, якщо поле ā(М) є безвихорним, то rot ā(М) = 0.
Звідси випливає, що координати вектора rot ā(М) дорівнюють нулю, тобто
Ці рівності дозволяють довести, що функція
є потенціалом векторного поля ā(М), оскільки –grad(U)= ā(М), (х0, у0, z0) - довільна точка з області неперервності координат ā(М).
Приклад. Знайти дивергенцію та вихор поля ā(М)=grad(x2+y2+z2)
Розв’язання:
,
Отже, поле
ā(М)
безвихорне.
13.3.2. Формули Остр.-Гаусса, Стокса та Гріна
Сумарна
потужність джерел векторного поля
усередині замкненої поверхні S
дорівнює потоку векторного поля через
цю поверхню:
З
іншої сторони, оскільки divā(M)-
це щільність потужності джерел векторного
поля, то сумарна потужність джерел в
області V
, яку обмежує поверхня S,
буде дорівнювати потрійному інтегралу:
яку
називають формулою Остроградського-Гаусса.
Знаходження потока поля
ā(M)
з використанням формули Остроградського-Гаусса
значно спрощується.
Т.
Стокса.
Якщо в деякій області, яка містить гладку
поверхню S
та її межу L,
проекції вектор-функції ā(М)
та
їх частинні похідні першого порядку є
неперервними функціями, тоді має місце
рівність:
При виконанні умов теореми циркуляція поля ā(М) вздовж замкненої лінії L, яка обмежує поверхню S, дорівнює потоку поля rotā(М) через поверхню S.
Ф-ла
Гріна описує зв’язок між подвійним
інтегралом по плоскій області D
з криволінійним інтегралом по межі L
цієї області:
Приклад
1.
Обчислити потік поля ā(M)=(x+y)
+(y-x)
+z
через
поверхню кулі одиничного радіуса з
центром в початку координат.
Розв’язання. Шуканий потік П заданого поля ā(M) будемо обчислювати з використанням формули Остроградського-Г аусса.
Позначимо через V задану в умові кулю, а S - поверхню кулі. Тоді
В заданому випадку
,
тому
Згідно
з
геометричним
змістом
інтегралів
по
області
останній
інтеграл
дорівнює
об’єму
заданої
кулі
—
Отже,
шуканим потоком буде:
Приклад
2.
Знайти потік вихору поля
через поверхню обертання
обмежену площиною z=0.
Розв’язання. Позначимо задану поверхню обертання - параболоїд через S . В перетині поверхні S та площини z =0 знаходиться замкнена лінія L: х2+ у2 =2, яка є межею поверхні S .
Потік
П поля rotā(M)
через поверхню S
шукаємо за формулою:
Застосовуючи
ф-лу Стокса, отримаємо
В
даному випадку лінія L плоска, тому
,
оскільки z
=0 на L.
Отже,
одержали, що
,
де L
коло x2+y2=2
В параметричному записі лінія L:
Перейдемо від криволінійного інтеграла до визначеного:
